Derivada de ln(2x): por que é 1/x, com exemplos

A derivada de \ln(2x) é \dfrac{1}{x}. Isso surpreende muitos alunos: o 2 desaparece, e a resposta coincide com a derivada de ln x.

Demonstração 1: a regra da cadeia

Seja u = 2x, então u' = 2. A regra da cadeia para logaritmos diz "derivada da função de dentro sobre a função de dentro":

O 2 do numerador cancela o 2 do denominador.

Demonstração 2: separe o logaritmo primeiro

A propriedade do produto dos logaritmos diz que \ln(ab) = \ln a + \ln b. Então

Agora \ln 2 \approx 0.693 é apenas um número, e a derivada de uma constante é 0:

Esta segunda demonstração explica por que a resposta é a mesma de \ln x.

Gráfico: duas curvas, mesmas inclinações

Em qualquer x, as duas curvas estão à mesma distância vertical uma da outra, então suas retas tangentes são paralelas. Em x = 2, por exemplo, as duas têm inclinação \frac{1}{2}.

Quando a constante não se cancela

O truque só funciona quando a função de dentro é uma constante vezes x. Compare:

A última linha funciona porque \ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma reta tangente. Em x = \frac{1}{2}, \ln(2x) = \ln 1 = 0 e a inclinação é \frac{1}{1/2} = 2. A reta tangente é

Exemplo 2: regra do produto. Para f(x) = x\ln(2x), a regra do produto dá

Exemplo 3: um quadrado. Para g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2, a função de fora é um quadrado:

Erros comuns

1. Escrever \frac{1}{2x}. Você dividiu pela função de dentro, mas esqueceu de multiplicar pela derivada dela, 2.
2. Escrever \frac{2}{x}. Você multiplicou por 2, mas não manteve o 2 no denominador.
3. Cancelar em \ln(2x + 1). O 2 só se cancela quando a função de dentro é exatamente 2x.

Veja também a derivada de ln(x²), em que há uma potência dentro do logaritmo em vez de um múltiplo, e pratique mais com os exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.