Exercícios de derivadas exponenciais e logarítmicas resolvidos

Estes exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas começam com as regras básicas e depois usam a regra da cadeia, as propriedades do logaritmo e a derivação logarítmica. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As regras de que você precisa:

Com uma função de dentro u: (e^u)' = e^u u' e (\ln u)' = \frac{u'}{u}. Veja a derivada de e^x, a derivada de ln x e a derivada de 2^x para as demonstrações.

Exercícios

Regras básicas

1. y = 5e^x - \ln x
2. y = 2^x
3. y = \log_{10} x

Regra da cadeia

4. y = e^{3x}
5. y = \ln(x^2 + 1)
6. y = 5^{x^2}

Use primeiro as propriedades do log

7. y = \ln(5x)
8. y = \ln\sqrt{x^2 + 4}
9. y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)

Com outras regras

10. y = x^2\ln x
11. y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}
12. y = x^x para x > 0

Respostas

Resolução passo a passo

1. Derive cada termo:

2. Use (a^x)' = a^x\ln a com a = 2:

3. Use (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} com a = 10, ou escreva antes \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}:

4. A função de dentro é 3x, com derivada 3:

5. Use (\ln u)' = \frac{u'}{u} com u = x^2 + 1:

6. Use (a^u)' = a^u\ln a\cdot u' com a = 5 e u = x^2:

7. Separe o log: \ln(5x) = \ln 5 + \ln x. O primeiro termo é constante:

A regra da cadeia dá o mesmo resultado: \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.

8. Uma raiz quadrada é uma potência de \frac{1}{2}, e o logaritmo leva os expoentes para a frente:

9. Separe o quociente: y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1). Então

Isso é muito mais curto do que usar a regra do quociente dentro da regra da cadeia.

10. Use a regra do produto:

11. Use a regra do quociente. Tanto o numerador quanto o denominador têm derivada e^x:

12. Nem a regra da potência nem a regra da exponencial servem, porque x aparece nos dois lugares. Use a derivação logarítmica: aplique \ln dos dois lados.

Derive os dois lados, usando a regra do produto à direita:

Erros comuns nestes exercícios

• Usar a regra da potência em e^x ou 2^x. (2^x)' não é x\cdot 2^{x-1}. A variável está no expoente, então você precisa de 2^x\ln 2.
• Escrever \ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}. Isso esquece a derivada de dentro, 2x, no numerador.
• Separar o log do jeito errado. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1. As propriedades do log separam produtos e quocientes, não somas.
• Tratar x^x como x\cdot x^{x-1}. O exercício 12 exige derivação logarítmica. Veja a derivada de x^x para saber mais.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a lição de derivadas exponenciais e logarítmicas e depois a lição de regra da cadeia com exponenciais. Para mais exemplos resolvidos, leia o guia de derivadas exponenciais e logarítmicas.