Derivada de sec x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de sec x é sec x tg x. Veja a demonstração a partir de 1/cos x, a regra da cadeia para sec(u), o gráfico e exemplos como sec(2x) e x sec x.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \sec x\tan x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Em seno e cosseno
- \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'
- Inclinação em x = 0
- \sec 0\tan 0 = 0
- Versão para integrais
- \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
Nesta página
A derivada de \sec x é \sec x\tan x. A secante é o inverso do cosseno, então sua derivada sai diretamente da derivada de cos x.
Gráfico de sec x e de sua derivada
Demonstração pela regra da cadeia
Escreva \sec x = (\cos x)^{-1}. A regra da cadeia, com a potência -1 por fora e \cos x por dentro, dá
Separe a fração em dois pedaços conhecidos:
A regra do quociente aplicada a \frac{1}{\cos x} dá o mesmo: \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}.
A versão com a regra da cadeia: derivada de sec(u)
Tanto \sec quanto \tan mantêm a mesma função de dentro.
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \sec(2x) | 2x | 2\sec(2x)\tan(2x) |
| \sec(x^2) | x^2 | 2x\sec(x^2)\tan(x^2) |
| \sec(3x + 1) | 3x + 1 | 3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1) |
| \sec\left(\frac{1}{x}\right) | \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x} |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um produto. \frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x).
Exemplo 2: uma potência. \frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x.
Exemplo 3: uma soma que se simplifica. \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x). Esse resultado elegante é o truque por trás da integral de sec x, \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.
Exemplo 4: um valor. Em x = \frac{\pi}{3}, \sec\frac{\pi}{3} = 2 e \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, então a inclinação é 2\sqrt{3} \approx 3.46.
Como memorizar
Secante e tangente andam sempre juntas no cálculo. A derivada de \tan x é \sec^2 x, e a derivada de \sec x é \sec x\tan x. Um jeito de não confundir: a derivada da tangente não tem tangente, enquanto a derivada da secante contém as duas funções, uma vez cada. Conferir um valor também ajuda. Em x = 0 a secante tem seu mínimo, então a inclinação tem de ser zero, e de fato \tan 0 = 0.
Erros comuns
- Escrever \tan^2 x ou \sec^2 x. A derivada de \sec x é \sec x\tan x. \sec^2 x é a derivada de \tan x.
- Acrescentar um sinal de menos. A secante não é uma função "co", então sua derivada é positiva. Compare com a derivada de cossec x, -\csc x\cot x.
- Mudar só uma das funções de dentro. \frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x). Os dois fatores mantêm 5x.
Lido de trás para frente, o resultado dá a integral de sec x tg x. A página das funções trigonométricas recíprocas mostra o gráfico da secante.
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Seno, cosseno e tangente
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