Integral de sec x tg x: fórmula, dedução e exemplos
A integral de sec x tg x é sec x + C. Veja por que ela inverte a derivada de sec x, como reconhecê-la disfarçada de sen x/cos² x e exemplos com substituição.
Integrais trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \sec x + C
- O mesmo que
- \int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C
- Forma linear
- \int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C
- Parceira com cossecante
- \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
- De 0 a π/3
- 1
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A integral de \sec x\tan x é \sec x + C. Ela é o inverso de uma das seis derivadas trigonométricas básicas, então vale a pena reconhecê-la de imediato.
Gráfico de sec x tg x e de sua primitiva
\sec x\tan x é uma função ímpar, então sua primitiva \sec x é par.
Dedução
- Lembre a derivada de sec x: \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x.
- Inverta: \sec x é uma primitiva de \sec x\tan x.
- Some C.
Se quiser ver de onde vem a derivada, escreva \sec x = (\cos x)^{-1} e use a regra da cadeia:
Verificação por derivação
Reconhecendo-a disfarçada
A integral nem sempre vem identificada. Cada uma destas é \sec x\tan x:
| Integrando | Reescrita | Integral |
|---|---|---|
| \frac{\sin x}{\cos^2 x} | \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} | \sec x + C |
| \frac{\tan x}{\cos x} | \tan x\sec x | \sec x + C |
| \frac{\sin x}{1 - \sin^2 x} | \frac{\sin x}{\cos^2 x} | \sec x + C |
Você também pode resolver a primeira linha diretamente com u = \cos x: \int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C.
Integrais definidas
Num intervalo simétrico como \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] a integral é 0, porque o integrando é ímpar.
Variantes por substituição
Exemplo 1. \int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C.
Exemplo 2: potências de sec. Com u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx:
Exemplo 3: potências ímpares de tg. \int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C.
Exemplo 4: a parceira com cossecante. \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C, já que \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x.
Erros comuns
- Integrar cada fator separadamente. \int\sec x\tan x\,dx não é \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert. A integral não se separa sobre produtos.
- Responder \tan x. Essa é a integral de \sec^2 x. Veja a integral de sec² x.
- Responder \csc x na versão com cossecante. Ela precisa de um sinal de menos: -\csc x + C.
- Não perceber o disfarce. Sempre tente reescrever \frac{\sin x}{\cos^2 x} antes de partir para um método mais difícil.
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