Derivada de sen 2x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de sen 2x é 2cos 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com 2 sen x cos x, a regra geral para sen(ax) e exemplos resolvidos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2\cos 2x
- Regra geral
- \dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)
- Derivada segunda
- -4\sin 2x
- Período
- \pi, metade do período de \sin x
- Integral de sen 2x
- \int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
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A derivada de \sin 2x é 2\cos 2x. A regra da cadeia traz o fator interno 2 para a frente, e a função de dentro 2x permanece igual.
Gráfico de sen 2x e de sua derivada
Demonstração pela regra da cadeia
Função de fora \sin u, função de dentro u = 2x, então u' = 2. Com a regra da cadeia e a derivada de sen x:
Conferência com a fórmula do arco duplo
Reescreva \sin 2x = 2\sin x\cos x e use a regra do produto:
A fórmula do arco duplo \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x transforma isso em 2\cos 2x. Dois métodos, uma resposta.
Por que o 2 vai para a frente
Comprimir o gráfico horizontalmente por um fator 2 o torna duas vezes mais inclinado em todo ponto. É isso que o fator 2 na frente de \cos 2x registra. Em geral:
| Função | Derivada |
|---|---|
| \sin 3x | 3\cos 3x |
| \sin\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} |
| \sin(2x + 1) | 2\cos(2x + 1) |
| \sin(\pi x) | \pi\cos(\pi x) |
| 5\sin 2x | 10\cos 2x |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um valor. Em x = \frac{\pi}{6}, a inclinação é 2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Exemplo 2: um produto. \frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x.
Exemplo 3: derivadas de ordem superior. Cada derivada traz mais um 2: \frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x, \frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x e \frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x.
Exemplo 4: uma ligação com sen²x. A derivada de sen²x é \sin 2x. Então \sin^2 x é uma primitiva de \sin 2x, e -\frac{1}{2}\cos 2x também é. Elas diferem por uma constante, já que \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x.
Onde você vai encontrá-la
A função \sin 2x aparece sempre que uma onda se repete duas vezes mais que \sin x. Ela também surge como resposta simplificada, por exemplo como a derivada de \sin^2 x, então conhecer sua derivada poupa tempo nas derivadas segundas. Na física, \sin 2\theta aparece no alcance de um projétil, e sua derivada diz como o alcance muda quando você inclina o ângulo de lançamento.
Erros comuns
- Esquecer o 2. \frac{d}{dx}\sin 2x não é \cos 2x.
- Mudar a função de dentro. A resposta é 2\cos 2x, não 2\cos x.
- Dividir em vez de multiplicar. O \frac{1}{2} aparece quando você integra, não quando deriva. Veja a integral de sen 2x.
- Confundir \sin 2x com 2\sin x. \frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x. Os gráficos são diferentes.
Para mais treino com a regra da cadeia, tente os exercícios de regra da cadeia.
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