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Integrais trigonométricas

Integral de sen 2x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de sen 2x é -cos(2x)/2 + C. Veja a substituição, por que sen² x + C e -cos² x + C também estão certas e exemplos de integrais definidas.

Integrais trigonométricas Atualizado 2 min de leitura

Visão geral

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Primitiva
-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C
Também correto
\sin^2 x + C ou -\cos^2 x + C
Método
u = 2x, du = 2\,dx
De 0 a π/2
1
Forma geral
\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C
Nesta página
  1. Gráfico de sen 2x e de sua primitiva
  2. Dedução por substituição
  3. Verificação por derivação
  4. Três respostas corretas
  5. Integrais definidas
  6. Exemplos resolvidos
  7. Erros comuns

A integral de \sin 2x é -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C. É a integral de sen x com um passo extra para lidar com o 2 de dentro.

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C

Gráfico de sen 2x e de sua primitiva

Área sob y = sen 2x de 0 a π/2, com a primitiva y = -cos(2x)/2
O arco sombreado tem área 1, metade da área sob um arco de \sin x, porque foi comprimido para metade da largura. A primitiva tracejada sobe de -\frac{1}{2} a \frac{1}{2}.

Dedução por substituição

  1. Seja u = 2x. Então du = 2\,dx, logo dx = \frac{1}{2}du.
  2. Substitua: \displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du.
  3. Integre: \frac{1}{2}(-\cos u) + C.
  4. Volte com u = 2x: -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Os mesmos passos dão a regra geral \int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C. Veja a substituição (mudança de variável).

Verificação por derivação

\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark

O fator 2 da regra da cadeia cancela o \frac{1}{2}. O sentido direto está na página da derivada de sen 2x.

Três respostas corretas

Usando a identidade do arco duplo \sin 2x = 2\sin x\cos x:

  • Com u = \sin x, du = \cos x\,dx: \int 2u\,du = \sin^2 x + C.
  • Com u = \cos x, du = -\sin x\,dx: \int -2u\,du = -\cos^2 x + C.

Elas parecem diferentes de -\frac{1}{2}\cos 2x, mas não são. Como \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1:

-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}

Então as três respostas diferem apenas por constantes. Isso é permitido: o +C absorve a diferença. Isso também explica por que a derivada de sen² x é \sin 2x.

Integrais definidas

\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0

Numa integral definida, as três formas da primitiva dão o mesmo número, porque a constante se cancela na subtração.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.

Exemplo 2. \int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C.

Exemplo 3: sen 2x cos x. Reescreva como 2\sin x\cos^2 x e faça u = \cos x:

\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C

Verificação: \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x.

Exemplo 4: sen 2x cos 2x. Use \sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x, então a integral é -\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Erros comuns

  1. Responder -\cos 2x + C. Você esqueceu o \frac{1}{2}. Sua derivada é 2\sin 2x.
  2. Responder -2\cos 2x + C. Isso multiplica por 2, que é o que a derivação faria.
  3. Achar que \sin^2 x está errado porque difere do livro. Derive: você obtém \sin 2x, então está certo.
  4. Escrever 2\sin x no lugar de \sin 2x. \sin 2x = 2\sin x\cos x, e não 2\sin x.

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Substituição (mudança de variável)

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Perguntas frequentes

Qual é a integral de sen 2x?
A integral de \sin 2x é -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Por que obtenho sen² x quando integro sen 2x?
Se você escreve \sin 2x = 2\sin x\cos x e usa u = \sin x, obtém \sin^2 x + C. Isso também está certo, porque \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x, que difere de -\frac{1}{2}\cos 2x apenas pela constante \frac{1}{2}.

Qual é a integral de sen 2x de 0 a π/2?
É \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Qual é a integral de 2 sen x cos x?
É a mesma integral, já que 2\sin x\cos x = \sin 2x. Qualquer uma entre -\frac{1}{2}\cos 2x, \sin^2 x ou -\cos^2 x, mais C.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

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