Derivada de sen 2x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de sen 2x es 2cos 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con 2 sen x cos x, la regla general para sen(ax) y ejemplos resueltos.
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2\cos 2x
- Regla general
- \dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)
- Segunda derivada
- -4\sin 2x
- Periodo
- \pi, la mitad del periodo de \sin x
- Integral de sen 2x
- \int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
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La derivada de \sin 2x es 2\cos 2x. La regla de la cadena saca delante el factor interior 2, y el interior 2x se queda igual.
Gráfica de sen 2x y de su derivada
Demostración con la regla de la cadena
Función exterior \sin u, función interior u = 2x, así que u' = 2. Con la regla de la cadena y la derivada de sen x:
Comprobación con la fórmula del ángulo doble
Reescribe \sin 2x = 2\sin x\cos x y usa la regla del producto:
La fórmula del ángulo doble \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x lo convierte en 2\cos 2x. Dos métodos, un mismo resultado.
Por qué sale el 2
Comprimir la gráfica horizontalmente por un factor 2 la hace el doble de pronunciada en todas partes. Eso es lo que recoge el factor 2 delante de \cos 2x. En general:
| Función | Derivada |
|---|---|
| \sin 3x | 3\cos 3x |
| \sin\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} |
| \sin(2x + 1) | 2\cos(2x + 1) |
| \sin(\pi x) | \pi\cos(\pi x) |
| 5\sin 2x | 10\cos 2x |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un valor. En x = \frac{\pi}{6}, la pendiente es 2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Ejemplo 2: un producto. \frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x.
Ejemplo 3: derivadas sucesivas. Cada derivada saca otro 2: \frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x, \frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x y \frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x.
Ejemplo 4: una conexión con sen²x. La derivada de sen²x es \sin 2x. Así que \sin^2 x es una antiderivada de \sin 2x, y también lo es -\frac{1}{2}\cos 2x. Difieren en una constante, ya que \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x.
Dónde te la encontrarás
La función \sin 2x aparece siempre que una onda se repite el doble de veces que \sin x. También aparece como resultado simplificado, por ejemplo como derivada de \sin^2 x, así que conocer su propia derivada ahorra tiempo con las segundas derivadas. En física, \sin 2\theta aparece en el alcance de un proyectil, y su derivada te dice cómo cambia el alcance al inclinar el ángulo de lanzamiento.
Errores comunes
- Olvidar el 2. \frac{d}{dx}\sin 2x no es \cos 2x.
- Cambiar el interior. El resultado es 2\cos 2x, no 2\cos x.
- Dividir en lugar de multiplicar. El \frac{1}{2} aparece al integrar, no al derivar. Consulta la integral de sen 2x.
- Confundir \sin 2x con 2\sin x. \frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x. Las gráficas son distintas.
Para practicar más la regla de la cadena, prueba los ejercicios de la regla de la cadena.
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