Derivada de |x| (módulo de x): fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de \lvert x\rvert é \dfrac{x}{\lvert x\rvert}. Em termos simples, a inclinação é 1 à direita de 0, -1 à esquerda de 0, e não existe inclinação no próprio 0.

Gráfico de |x| e de sua derivada

Demonstração, parte por parte

Divida \lvert x\rvert em suas duas partes. Para x > 0, \lvert x\rvert = x, então a derivada é 1. Para x < 0, \lvert x\rvert = -x, então a derivada é -1. Nos dois casos o resultado é igual a \frac{x}{\lvert x\rvert}: dividir um número pelo seu módulo dá apenas o seu sinal.

Por que não existe derivada em 0

Observe o quociente de Newton em x = 0:

Pela direita (h > 0) isso vale 1. Pela esquerda (h < 0) vale -1. Os limites laterais não coincidem, então o limite não existe. O gráfico tem um bico, e nenhuma reta tangente única se ajusta a ele. Este é o exemplo clássico da lição sobre diferenciabilidade.

Outra forma de escrever o resultado é \frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}, já que \lvert x\rvert = \sqrt{x^2}. Derivar \sqrt{x^2} com a regra da cadeia dá \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}, a mesma fórmula.

A versão com a regra da cadeia: derivada de |u|

Exemplo 1. \frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3, que vale 3 para x > 0 e -3 para x < 0.

Exemplo 2. \frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}. Para \lvert x\rvert > 2 isso é 2x. Para \lvert x\rvert < 2 é -2x. Em x = \pm 2 o gráfico tem bicos e não há derivada.

Exemplo 3. \frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}, indefinida sempre que \sin x = 0.

Uma função construída a partir de |x| que é diferenciável

Multiplicar por x suaviza o bico. Tome f(x) = x\lvert x\rvert. Para x > 0 ela é x^2, para x < 0 é -x^2, então f'(x) = 2\lvert x\rvert. Em 0 o quociente de Newton é \frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0, então f'(0) = 0 existe. Essa f também é uma primitiva de 2\lvert x\rvert, e é assim que se encontra a integral de |x|.

Erros comuns

1. Responder \lvert 1\rvert = 1. A derivada não é 1 em todo ponto. Do lado esquerdo ela é -1.
2. Dizer que f'(0) = 0. O bico não tem reta tangente, então a derivada em 0 não existe.
3. Achar que contínua significa diferenciável. \lvert x\rvert é contínua em 0, mas mesmo assim não tem derivada ali.

Para a função em si, veja a página da função módulo.