Derivada de √x (raiz de x): fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de √x é 1/(2√x). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a regra da cadeia para √u, por que x = 0 falha e exemplos.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x > 0
- Como potência
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
- Em x = 0
- Não é diferenciável, a tangente é vertical
- Versão para integrais
- \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
Nesta página
A derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, para todo x > 0. Raízes são apenas potências fracionárias, então a regra da potência resolve.
Gráfico de √x e de sua derivada
A derivada é sempre positiva, então \sqrt{x} é sempre crescente. Mas ela cresce cada vez mais devagar, e é por isso que a curva se curva para baixo.
Demonstração pela regra da potência
Reescreva a raiz como potência, \sqrt{x} = x^{1/2}, e use a regra da potência:
Demonstração pela definição de limite
Substituir h = 0 dá \frac{0}{0}, então multiplique numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x + h} + \sqrt{x}:
Agora faça h \to 0 para obter \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Por que x = 0 é um problema
Em x = 0 a fórmula dividiria por zero. O quociente de Newton ali é \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}, que cresce sem limite quando h \to 0^+. A reta tangente na origem é vertical, então \sqrt{x} não é diferenciável em 0.
A versão com a regra da cadeia: derivada de √u
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \sqrt{3x} | 3x | \frac{3}{2\sqrt{3x}} |
| \sqrt{x^2 + 1} | x^2 + 1 | \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} |
| \sqrt{1 - x^2} | 1 - x^2 | \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \sqrt{\sin x} | \sin x | \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: junte as potências primeiro. Derive x\sqrt{x}. Como x\sqrt{x} = x^{3/2}:
Exemplo 2: um quociente. \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, então sua derivada é -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Exemplo 3: uma reta tangente. Em x = 9, \sqrt{9} = 3 e a inclinação é \frac{1}{6}. A tangente é y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9). Essa reta é a base para estimar \sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167, uma aproximação linear clássica. O valor exato é cerca de 3.162.
Erros comuns
- Esquecer o 2. A resposta é \frac{1}{2\sqrt{x}}, não \frac{1}{\sqrt{x}}.
- Diminuir o expoente do jeito errado. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, não -\frac{3}{2} nem \frac{3}{2}.
- Esquecer o u'. \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} precisa do fator 2x no numerador.
- Substituir x = 0. A fórmula não tem valor em 0. Diga que a derivada não existe ali, em vez de escrever \frac{1}{0}.
O sentido inverso está na página da integral de √x. A página da função raiz quadrada mostra seu gráfico e domínio.
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A regra da potência
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