Derivada de uma constante: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de uma constante é 0. Veja por que pela definição de limite, além de casos que confundem, como π², e³, ln 5 e constantes multiplicando funções.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 0 para toda constante c
- Gráfico
- Uma reta horizontal, que tem inclinação 0
- Constante somada
- \dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)
- Constante multiplicando
- \dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)
- Versão para integrais
- \int c\,dx = cx + C
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A derivada de uma constante é 0. Se f(x) = c para algum número fixo c, então f'(x) = 0 para todo x.
Gráfico de uma constante e de sua derivada
Demonstração pela definição de limite
Para f(x) = c, tanto f(x + h) quanto f(x) valem c:
O numerador é exatamente 0 para todo h \ne 0, então o limite é 0. Essa é a regra da constante.
Você também pode ver isso pela regra da potência: c = c\,x^0, e \frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0.
Reconhecendo constantes disfarçadas
A parte difícil não é a regra, é reconhecer uma constante. Tudo o que não contém a variável é uma constante, não importa a aparência.
| Expressão | É constante? | Derivada em relação a x |
|---|---|---|
| 7 | sim | 0 |
| \pi^2 | sim | 0 |
| e^3 | sim | 0 |
| \ln 5 | sim | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | sim, vale \frac{1}{2} | 0 |
| a^2 + b (letras diferentes de x) | sim, se não dependem de x | 0 |
| e^x | não | e^x |
Constantes somadas versus constantes multiplicando
Uma constante somada desaparece:
Uma constante multiplicando permanece, pela regra da constante multiplicativa:
O motivo é geométrico. Somar 10 desloca o gráfico para cima, o que não altera nenhuma inclinação. Multiplicar por 10 estica o gráfico, o que torna cada inclinação 10 vezes mais acentuada.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2. Aqui e^2 multiplica x, então permanece, e a derivada de x é 1.
Exemplo 3. \frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}. O \ln 3 é uma constante. Veja a derivada de ln x.
Exemplo 4: outras variáveis. Em \frac{d}{dx}(x^2 y^3), se y não depende de x, trate y^3 como uma constante multiplicando: a resposta é 2xy^3. Essa ideia vira derivadas parciais no Cálculo 3.
Erros comuns
- Derivar e^2 como se fosse e^x. \frac{d}{dx}e^2 = 0, não e^2 nem 2e.
- Descartar uma constante multiplicando. \frac{d}{dx}(3x) = 3, não 0.
- Usar a regra da potência com base constante. \frac{d}{dx}\pi^3 é 0, não 3\pi^2.
No sentido inverso, toda primitiva leva um +C porque a derivada de uma constante é 0. Veja a integral de uma constante.
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