Derivada de x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de x é 1. Veja por que pela definição de limite e pela regra da potência, além das derivadas de 5x, ax + b e de x em relação a outras variáveis.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 1 para todo x real
- Múltiplo de x
- \dfrac{d}{dx}(ax) = a
- Função afim
- \dfrac{d}{dx}(ax + b) = a
- Pela regra da potência
- x = x^1, então a derivada é 1 \cdot x^0 = 1
- Versão para integrais
- \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C
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A derivada de x é 1. A função y = x é uma reta com inclinação 1, e a derivada de uma reta é simplesmente sua inclinação.
Gráfico de x e de sua derivada
Como a inclinação nunca muda, a derivada é uma constante. Escolha dois pontos quaisquer da reta: a variação vertical é sempre igual à variação horizontal.
Demonstração pela definição de limite
A definição de derivada por limite diz que
Com f(x) = x:
O h se cancela antes mesmo de você calcular o limite, então não há nada difícil a resolver.
Demonstração pela regra da potência
Escreva x como x^1. A regra da potência diz para descer o expoente e diminuí-lo em uma unidade:
Isso usa x^0 = 1, que vale para todo x \ne 0, e a demonstração por limite cobre também x = 0.
Múltiplos e funções afins
Com a regra da constante multiplicativa e a regra da constante, toda função afim fica fácil:
| Função | Derivada |
|---|---|
| 5x | 5 |
| -x | -1 |
| \frac{x}{3} | \frac{1}{3} |
| 3x - 7 | 3 |
| \pi x + e | \pi |
A derivada de uma reta y = mx + b é sempre m, sua inclinação (coeficiente angular). O termo independente b só desloca a reta para cima ou para baixo, então não afeta o quanto ela é inclinada. Veja a derivada de uma constante para entender por que o b desaparece.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma soma. Derive f(x) = x^2 + 4x - 9:
O termo 4x contribui com 4 e o -9 contribui com 0. O termo x^2 usa a derivada de x².
Exemplo 2: conferindo com o produto. Escreva x^2 = x \cdot x e use a regra do produto:
Isso confere com a regra da potência, o que é uma boa verificação.
Exemplo 3: outra variável. Em \frac{d}{dt}(xt), quando x não depende de t, trate x como constante: a resposta é x.
Erros comuns
- Responder 0. Só constantes têm derivada 0. A função x varia, então sua derivada é 1.
- Dar x como resposta. A derivada de x não é x. Isso vale para e^x, não para x.
- Manter o termo constante. \frac{d}{dx}(3x + 7) = 3, não 3 + 7 nem 10.
A pergunta inversa, \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C, está na página da integral de x. Para treinar, tente os exercícios de regra da potência.
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