Aufgaben: Trigonometrische Funktionen ableiten mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen beginnen mit den sechs Grundableitungen, nehmen dann die Produkt- und Quotientenregel und die Kettenregel dazu und enden mit einer zweiten Ableitung und einer Tangente. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Die sechs Ableitungen, die du brauchst:

Jede hat eine eigene Seite mit Herleitung, zum Beispiel die Ableitung von tan x und die Ableitung von sec x. Den Gesamtüberblick bietet der Leitfaden zu trigonometrischen Ableitungen.

Aufgaben

Grundableitungen

1. y = 3\sin x - 2\cos x
2. y = \tan x + \sec x
3. y = 4\csc x - \cot x

Produkt- und Quotientenregel

4. y = x^2\cos x
5. y = \sin x\cos x
6. y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}

Kettenregel

7. y = \sin(5x)
8. y = \cos(x^2)
9. y = \tan^3 x
10. y = \sec(3x)

Zweite Ableitungen und Tangenten

11. Bestimme y'' für y = \sin(2x).
12. Bestimme die Tangente an y = \tan x an der Stelle x = \frac{\pi}{4}.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Leite jeden Summanden einzeln ab. Das Minus aus (\cos x)' = -\sin x trifft auf die -2:

2. Nimm die beiden Ableitungen direkt aus der Tabelle:

3. Sowohl \csc x als auch \cot x haben negative Ableitungen:

4. Verwende die Produktregel mit f = x^2 und g = \cos x:

5. Wieder die Produktregel:

Nach der Doppelwinkelformel ist das gleich \cos(2x). Du kannst es auch anders prüfen: \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x), und dessen Ableitung ist \cos(2x).

6. Verwende die Quotientenregel. Die Ableitung des Nenners ist -\sin x:

Wegen \cos^2 x + \sin^2 x = 1 ist der Zähler 1 + \cos x, und ein Faktor kürzt sich:

7. Die innere Funktion ist 5x mit der Ableitung 5:

8. Die innere Funktion ist x^2 mit der Ableitung 2x:

9. Schreibe y = (\tan x)^3. Die äußere Funktion ist eine dritte Potenz, die innere ist \tan x:

10. Die äußere Funktion ist \sec u mit der Ableitung \sec u\tan u, und u = 3x:

11. Leite zweimal ab und verwende jedes Mal die Kettenregel:

12. Der Punkt ist \tan\frac{\pi}{4} = 1. Die Steigung ist \sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Das Minuszeichen vergessen. Die Ableitungen von \cos x, \cot x und \csc x sind alle negativ. Aufgabe 3 enthält gleich zwei davon.
• \sec^2 x als \sec(x^2) lesen. \sec^2 x bedeutet (\sec x)^2. Das sind völlig verschiedene Funktionen.
• Die innere Ableitung vergessen. \sin(5x) hat die Ableitung 5\cos(5x), nicht \cos(5x).
• Im Gradmaß rechnen. In Aufgabe 12 ist der Winkel \frac{\pi}{4} im Bogenmaß. Mit 45 in der Tangentengleichung wäre das Ergebnis falsch.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für beliebig viele Übungen mit neuen Funktionen und sofortiger Rückmeldung probiere die Lektion zu trigonometrischen Ableitungen und danach die Lektion zur Kettenregel mit trigonometrischen Funktionen. Für die Umkehrfunktionen wie \arcsin x und \arctan x geht es weiter mit den Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen.