Ejercicios de derivadas trigonométricas resueltos con respuestas

Estos ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas empiezan con las seis derivadas básicas, añaden las reglas del producto y del cociente, después la regla de la cadena, y terminan con una segunda derivada y una recta tangente. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las seis derivadas que necesitas:

Cada una tiene su propia página con demostración, por ejemplo la derivada de tan x y la derivada de sec x. Para una visión de conjunto, lee la guía de derivadas trigonométricas.

Ejercicios

Derivadas básicas

1. y = 3\sin x - 2\cos x
2. y = \tan x + \sec x
3. y = 4\csc x - \cot x

Reglas del producto y del cociente

4. y = x^2\cos x
5. y = \sin x\cos x
6. y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}

Regla de la cadena

7. y = \sin(5x)
8. y = \cos(x^2)
9. y = \tan^3 x
10. y = \sec(3x)

Segundas derivadas y rectas tangentes

11. Halla y'' para y = \sin(2x).
12. Halla la recta tangente a y = \tan x en x = \frac{\pi}{4}.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Deriva cada término. El signo menos de (\cos x)' = -\sin x se encuentra con el -2:

2. Usa las dos derivadas directamente de la tabla:

3. Tanto \csc x como \cot x tienen derivadas negativas:

4. Usa la regla del producto con f = x^2 y g = \cos x:

5. De nuevo la regla del producto:

Por la identidad del ángulo doble, esto es igual a \cos(2x). Puedes confirmarlo de otra forma: \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x), cuya derivada es \cos(2x).

6. Usa la regla del cociente. La derivada del denominador es -\sin x:

Como \cos^2 x + \sin^2 x = 1, el numerador es 1 + \cos x y se cancela un factor:

7. La función interior es 5x, con derivada 5:

8. La función interior es x^2, con derivada 2x:

9. Escribe y = (\tan x)^3. La función de fuera es un cubo y la de dentro es \tan x:

10. La función de fuera es \sec u, con derivada \sec u\tan u, y u = 3x:

11. Deriva dos veces, usando la regla de la cadena en cada paso:

12. El punto es \tan\frac{\pi}{4} = 1. La pendiente es \sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2:

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar el signo menos. Las derivadas de \cos x, \cot x y \csc x son todas negativas. El ejercicio 3 tiene dos de ellas.
• Escribir \sec^2 x como \sec(x^2). \sec^2 x significa (\sec x)^2. Son funciones muy distintas.
• Olvidar la derivada interior. \sin(5x) tiene derivada 5\cos(5x), no \cos(5x).
• Usar grados. En el ejercicio 12 el ángulo es \frac{\pi}{4} radianes. Usar 45 en la recta tangente sería incorrecto.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de derivadas trigonométricas y después la lección de la regla de la cadena con funciones trigonométricas. Para las funciones inversas, como \arcsin x y \arctan x, pasa a los ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas.