Limites à l'infini : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur les limites à l'infini commencent par des fonctions rationnelles, puis passent aux racines carrées, à la forme \infty - \infty, aux exponentielles et aux asymptotes horizontales. Cherchez chaque exercice avant de vérifier. Les réponses suivent directement la liste, puis viennent les solutions complètes.

Le raccourci pour les fonctions rationnelles, où n est le degré du numérateur et m celui du dénominateur :

Pour le raisonnement derrière ce résultat, lisez le guide des limites à l'infini.

Exercices

Fonctions rationnelles

1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}
2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}
3. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}
4. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}

Racines carrées

5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
6. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)

Trigonométrie et exponentielles

8. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}
9. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
10. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)

Asymptotes horizontales

12. Déterminez toutes les asymptotes horizontales de f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}.

Réponses

Solutions détaillées

1. Les degrés sont égaux, donc divisez le numérateur et le dénominateur par x^2 :

2. Le dénominateur a le plus haut degré. Divisez par x^2 :

3. Le numérateur a le plus haut degré. Divisez par x^2 :

Le numérateur croît sans limite tandis que le dénominateur tend vers 4, donc la limite est \infty.

4. Encore des degrés égaux. Divisez par x^3 :

Le sens -\infty ne change pas la réponse ici, car tous les termes restants tendent quand même vers 0.

5. Factorisez x^2 sous la racine. Pour x > 0, \sqrt{x^2} = x :

6. Même fonction, mais maintenant x < 0, donc \sqrt{x^2} = |x| = -x :

7. C'est une forme \infty - \infty. Multipliez et divisez par la quantité conjuguée :

Divisez le numérateur et le dénominateur par x :

8. Utilisez le théorème des gendarmes. Comme -1 \le \sin x \le 1, pour x > 0 :

Les deux fonctions extérieures tendent vers 0, donc la limite vaut 0.

9. Quand x\to\infty, e^x est le terme dominant. Divisez par e^x :

10. Quand x\to -\infty, e^x\to 0, donc remplacez simplement par cette valeur :

11. Quand x\to\infty, x^2\to\infty, et \arctan u\to\frac{\pi}{2} quand u\to\infty. La limite vaut donc \frac{\pi}{2}.

12. Sortez \sqrt{x^2} = |x| de la racine : \sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}.

Quand x\to\infty, |x| = x :

Quand x\to -\infty, |x| = -x, ce qui change le signe et donne -5. La courbe a deux asymptotes horizontales : y = 5 à droite et y = -5 à gauche.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Écrire \frac{\infty}{\infty} = 1. Dans l'exercice 1, le numérateur et le dénominateur croissent tous les deux, mais la réponse est \frac{3}{5}. Divisez par la plus grande puissance pour voir ce qui se passe vraiment.
• Oublier que \sqrt{x^2} = |x|. Les exercices 6 et 12 donnent le mauvais signe si vous traitez \sqrt{x^2} comme x quand x est négatif.
• Écrire \infty - \infty = 0. L'exercice 7 semble devoir donner 0, mais la quantité conjuguée montre que la limite vaut 3.
• Supposer que les deux sens donnent la même chose. Les exercices 9 et 10 utilisent la même fonction et donnent 2 et -3. Les exponentielles se comportent très différemment de chaque côté.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres à chaque fois et une correction immédiate, essayez la leçon sur les limites à l'infini, puis l'entraînement mixte sur les limites. Si une limite à l'infini devient \frac{\infty}{\infty} avec un mélange d'exponentielles et de logarithmes, les exercices sur la règle de L'Hôpital montrent la méthode la plus rapide.