Exercícios de esboço de gráficos com derivadas, com respostas

Estes exercícios de esboço de gráficos percorrem tudo o que você precisa para esboçar um gráfico a partir das derivadas: pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

O que cada derivada diz:

Para um passo a passo completo, leia o guia de esboço de gráficos.

Exercícios

Uma função, passo a passo: f(x) = x^3 - 3x^2

1. Encontre os pontos críticos.
2. Encontre onde f é crescente e onde é decrescente.
3. Encontre o máximo e o mínimo locais.
4. Encontre os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.

Pontos críticos que não são extremos

5. Encontre os extremos locais de f(x) = x^4 - 4x^3.
6. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f(x) = x^4 - 4x^3.

Exponenciais e funções racionais

7. Para f(x) = xe^{-x}, encontre os extremos locais, o ponto de inflexão e a assíntota horizontal.
8. Para f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}, encontre os extremos locais e a assíntota horizontal.
9. Para f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}, encontre as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e a concavidade.

Testes e casos especiais

10. Use o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x.
11. Uma função tem f'(x) = (x - 1)^2(x + 2). Onde f tem extremos locais?
12. Encontre e classifique o ponto crítico de f(x) = x^{2/3} e descreva a sua concavidade.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Derive e iguale a zero:

2. Teste um número em cada intervalo:

3. Em x = 0, f' passa de + para -, então há um máximo local: f(0) = 0. Em x = 2, f' passa de - para +, então há um mínimo local: f(2) = 8 - 12 = -4.

4. A segunda derivada é f''(x) = 6x - 6, que vale 0 em x = 1. Ela é negativa para x < 1 e positiva para x > 1, então a concavidade muda. O ponto de inflexão é (1, f(1)) = (1, -2).

5. Derive e fatore:

Os pontos críticos são x = 0 e x = 3. Como 4x^2 \ge 0, o sinal de f' é o sinal de x - 3: negativo dos dois lados de 0 e positivo depois de 3. Então f continua decrescendo ao passar por x = 0, sem mudar de direção, e x = 0 não é extremo. Em x = 3 o sinal passa de - para +, o que dá um mínimo local f(3) = 81 - 108 = -27.

6. A segunda derivada é

Ela é positiva em (-\infty, 0), negativa em (0, 2) e positiva em (2, \infty). Troca de sinal nos dois zeros, então os pontos de inflexão são (0, 0) e (2, 16 - 32) = (2, -16).

7. Use a regra do produto:

Como e^{-x} > 0, f' tem o sinal de 1 - x: positivo antes de 1 e negativo depois. Então há um máximo local em \left(1, \frac{1}{e}\right). Derive de novo:

Ela troca de sinal em x = 2, então o ponto de inflexão é \left(2, \frac{2}{e^2}\right). Quando x\to\infty, xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0, então y = 0 é uma assíntota horizontal à direita.

8. Use a regra do quociente:

O denominador é sempre positivo, então o sinal vem de 1 - x^2: negativo para x < -1, positivo em (-1, 1) e negativo para x > 1. Isso dá um mínimo local f(-1) = -\frac{1}{2} e um máximo local f(1) = \frac{1}{2}. O grau do denominador é maior, então y = 0 é a assíntota horizontal.

9. Assíntotas. O denominador x^2 - 4 se anula em x = \pm 2 e o numerador não, então há assíntotas verticais em x = -2 e x = 2. Os graus são iguais, então a assíntota horizontal é y = 1.

Crescimento e decrescimento. Use a regra do quociente:

O denominador é positivo, então f' > 0 para x < 0 e f' < 0 para x > 0. f é crescente em (-\infty, -2) e (-2, 0), e decrescente em (0, 2) e (2, \infty). Há um máximo local em (0, 0).

Concavidade. Derivando de novo e simplificando, obtemos

O numerador é sempre positivo, então o sinal vem de (x^2 - 4)^3. f tem concavidade para cima em (-\infty, -2) e (2, \infty), e para baixo em (-2, 2). A concavidade só muda nas assíntotas, onde f não está definida, então não há pontos de inflexão.

10. Encontre os pontos críticos:

A segunda derivada é f''(x) = 12x + 6.

• f''(-2) = -18 < 0: máximo local, f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20.
• f''(1) = 18 > 0: mínimo local, f(1) = 2 + 3 - 12 = -7.

11. Os pontos críticos são x = 1 e x = -2. O fator (x - 1)^2 nunca é negativo, então o sinal de f' vem de x + 2. Ele passa de - para + em x = -2, um mínimo local. Em x = 1 o sinal continua + dos dois lados, então não há extremo ali.

12. A derivada é

Ela nunca vale 0, mas não está definida em x = 0, onde f está definida. Então x = 0 é um ponto crítico. f' < 0 para x < 0 e f' > 0 para x > 0, então (0, 0) é um mínimo local. A inclinação tende a \pm\infty de cada lado, o que forma uma ponta chamada cúspide. A segunda derivada é f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}, negativa para todo x \ne 0, então o gráfico tem concavidade para baixo dos dois lados.

Erros comuns nestes exercícios

• Chamar todo ponto crítico de extremo. Nos exercícios 5 e 11, f' se anula mas mantém o sinal, então não há máximo nem mínimo.
• Esquecer os pontos onde f' não está definida. O exercício 12 não tem solução para f'(x) = 0, mas mesmo assim tem um mínimo.
• Contar uma assíntota como ponto de inflexão. No exercício 9 a concavidade muda em x = \pm 2, mas f não está definida ali.
• Dar só o valor de x. Um máximo ou mínimo local é um ponto. Informe também f(c), como no exercício 3.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam funções fixas. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a lição de pontos críticos, a lição de crescimento e decrescimento e a lição da segunda derivada. Depois use as mesmas ferramentas em problemas contextualizados com os exercícios de otimização.