Ejercicios resueltos de límites al infinito con soluciones

Estos ejercicios de límites al infinito empiezan con funciones racionales y siguen con raíces cuadradas, la forma \infty - \infty, exponenciales y asíntotas horizontales. Resuelve cada uno antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, seguidas de las soluciones completas.

El atajo para funciones racionales, donde n es el grado del numerador y m el del denominador:

Para entender el razonamiento, lee la guía de límites al infinito.

Ejercicios

Funciones racionales

1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}
2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}
3. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}
4. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}

Raíces cuadradas

5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
6. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)

Trigonométricas y exponenciales

8. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}
9. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
10. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)

Asíntotas horizontales

12. Halla todas las asíntotas horizontales de f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Los grados coinciden, así que divide numerador y denominador entre x^2:

2. El denominador tiene mayor grado. Divide entre x^2:

3. El numerador tiene mayor grado. Divide entre x^2:

El numerador crece sin límite mientras el denominador tiende a 4, así que el límite es \infty.

4. De nuevo grados iguales. Divide entre x^3:

Aquí la dirección -\infty no cambia la respuesta, porque todos los términos sobrantes siguen tendiendo a 0.

5. Saca x^2 fuera de la raíz. Para x > 0, \sqrt{x^2} = x:

6. La misma función, pero ahora x < 0, así que \sqrt{x^2} = |x| = -x:

7. Es una forma \infty - \infty. Multiplica y divide por el conjugado:

Divide numerador y denominador entre x:

8. Usa el teorema del sándwich. Como -1 \le \sin x \le 1, para x > 0:

Las dos funciones exteriores tienden a 0, así que el límite es 0.

9. Cuando x\to\infty, e^x es el término dominante. Divide entre e^x:

10. Cuando x\to -\infty, e^x\to 0, así que basta con sustituir ese valor:

11. Cuando x\to\infty, x^2\to\infty, y \arctan u\to\frac{\pi}{2} cuando u\to\infty. Así que el límite es \frac{\pi}{2}.

12. Saca \sqrt{x^2} = |x| fuera de la raíz: \sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}.

Cuando x\to\infty, |x| = x:

Cuando x\to -\infty, |x| = -x, lo que cambia el signo y da -5. La gráfica tiene dos asíntotas horizontales: y = 5 a la derecha e y = -5 a la izquierda.

Errores comunes en estos ejercicios

• Escribir \frac{\infty}{\infty} = 1. En el ejercicio 1 numerador y denominador crecen, pero la respuesta es \frac{3}{5}. Divide entre la mayor potencia para ver qué pasa realmente.
• Olvidar que \sqrt{x^2} = |x|. Los ejercicios 6 y 12 dan el signo equivocado si tratas \sqrt{x^2} como x cuando x es negativo.
• Escribir \infty - \infty = 0. El ejercicio 7 parece que debería dar 0, pero el conjugado muestra que el límite es 3.
• Suponer que ambas direcciones coinciden. Los ejercicios 9 y 10 usan la misma función y dan 2 y -3. Las exponenciales se comportan de forma muy distinta a cada lado.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la lección de límites al infinito y luego la práctica mixta de límites. Si un límite al infinito se convierte en \frac{\infty}{\infty} con exponenciales y logaritmos mezclados, los ejercicios de la regla de L'Hôpital muestran el método más rápido.