Funções racionais: assíntotas, buracos, derivadas e integrais
Funções racionais P(x)/Q(x): domínio, assíntotas verticais e horizontais, buracos, derivadas pela regra do quociente e integrais por frações parciais.
Funções algébricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Domínio
- Todo x com Q(x) \ne 0
- Derivada
- \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}
- Integral
- \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C
- Assíntotas verticais
- Zeros de Q que não se cancelam
- Assíntota horizontal
- Compare os graus de P e Q
- Método de integração
- Divisão de polinômios e depois frações parciais
Nesta página
Uma função racional é um polinômio dividido por outro. Ela está definida em todos os pontos, exceto onde o denominador se anula, e o comportamento perto desses pontos, com assíntotas e buracos, é o que a torna central em limites, esboço de gráficos e integração.
Definição e fórmula
P e Q são polinômios e Q não é o polinômio nulo. O exemplo mais simples é a função recíproca \frac{1}{x}. Outros exemplos são \frac{2x + 1}{x - 1} e \frac{x^2 - 4}{x - 2}.
Gráfico de uma função racional
Assíntotas e buracos
Primeiro, fatore P e Q completamente.
- Buraco. Um fator (x - a) que se cancela no numerador e no denominador deixa uma descontinuidade removível em x = a. Exemplo: \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 para x \ne 2, uma reta com um buraco em (2, 4).
- Assíntota vertical. Um zero a do denominador que permanece depois do cancelamento. Perto de x = a, a função vai para \pm\infty, então os limites laterais são infinitos.
- Assíntota horizontal. Vem dos limites no infinito, com \deg P = m e \deg Q = n:
| Graus | Comportamento quando x \to \pm\infty |
|---|---|
| m < n | assíntota y = 0 |
| m = n | assíntota y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q}, o quociente dos coeficientes dominantes |
| m = n + 1 | assíntota oblíqua, obtida pela divisão de polinômios |
| m > n + 1 | nenhuma assíntota reta |
Derivada de uma função racional
Use a regra do quociente:
A derivada é novamente uma função racional, com os mesmos pontos excluídos do domínio.
Integrando funções racionais
Não existe uma fórmula única. O método padrão é:
- Se \deg P \ge \deg Q, divida para obter um polinômio mais uma fração própria.
- Fatore Q e separe a fração própria em frações parciais.
- Integre cada parcela. Fatores lineares geram logaritmos, \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C; fatores quadráticos irredutíveis geram arcos tangentes.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: assíntotas. Para f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}, nada se cancela, então x = 1 é uma assíntota vertical. Os graus são iguais, então y = \frac{2}{1} = 2 é a assíntota horizontal.
Exemplo 2: derivada. Com P = 2x + 1 e Q = x - 1:
A derivada é sempre negativa, então f é decrescente em cada lado da assíntota.
Exemplo 3: um limite com buraco. \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.
Exemplo 4: integral por frações parciais. Como \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1},
Erros comuns
- Declarar que todo zero do denominador é uma assíntota. Cancele os fatores comuns primeiro; fatores cancelados geram buracos.
- Cancelar termos em vez de fatores. \frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}. Só fatores comuns se cancelam.
- Trocar a ordem na regra do quociente. O numerador é P'Q - PQ'; invertê-lo troca o sinal.
- Usar frações parciais em uma fração imprópria. Divida primeiro quando \deg P \ge \deg Q.
Como se conecta
Funções racionais são a fonte clássica de limites do tipo \frac{0}{0}, o caso de teste da regra de L'Hôpital e a principal aplicação de frações parciais em Cálculo 2. Seus gráficos usam todas as ferramentas de esboço de gráficos.
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