Funções potência f(x) = xⁿ: gráficos, derivada, integral e regras

Uma função potência eleva a variável a um expoente fixo: f(x) = x^n. A família inclui parábolas, cúbicas, recíprocas e raízes, e uma única regra, a regra da potência, deriva todos os seus membros.

Fórmula

O expoente n é uma constante. De modo mais geral, f(x) = kx^n com um coeficiente constante k. Membros comuns:

Gráficos de funções potência

Como o expoente molda o gráfico:

• n natural par (x^2, x^4, \ldots): formato de U, função par, imagem [0, \infty).
• n natural ímpar (x^3, x^5, \ldots): formato de S, função ímpar, imagem igual a todos os reais.
• n negativo (x^{-1}, x^{-2}, \ldots): não definida em 0, com assíntota vertical em x = 0 e assíntota horizontal y = 0.
• n = \frac{p}{q} fracionário: uma raiz de índice par (q par) restringe o domínio a x \ge 0; uma raiz de índice ímpar permite todos os reais.
• Em (0, 1), potências maiores são menores; em (1, \infty), potências maiores são maiores.

Derivada de uma função potência

Desça o expoente multiplicando e depois subtraia um do expoente. Isso vale para toda constante real n onde x^n for diferenciável. Observe que, para 0 < n < 1, como em \sqrt{x}, a derivada tende ao infinito em x = 0, onde o gráfico tem reta tangente vertical.

Integral de uma função potência

Some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente. O caso n = -1 dividiria por zero; nesse caso

Veja a regra da potência inversa.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6.

Exemplo 2: expoente negativo. \frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}.

Exemplo 3: expoente fracionário. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Exemplo 4: integral. \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C.

Exemplo 5: integral definida. \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2.

Erros comuns

1. Usar a regra da potência em 2^x. Essa é uma função exponencial; sua derivada é 2^x\ln 2.
2. Subtrair um de um expoente negativo na direção errada. A derivada de x^{-3} é -3x^{-4}, e não -3x^{-2}.
3. Aplicar a fórmula da integral com n = -1. \frac{x^0}{0} não tem sentido; use \ln|x|.
4. Não reescrever antes. Transforme \frac{1}{x^2} em x^{-2} e \sqrt{x} em x^{1/2} antes de usar qualquer uma das regras.

Como se conecta

Somas de funções potência com expoentes naturais são funções polinomiais, e as séries de potências estendem essa ideia a infinitos termos. Para um passo a passo mais detalhado com exercícios, leia o guia da regra da potência e o de antiderivadas.