Função recíproca f(x) = 1/x: gráfico, derivada, integral e limites

A função recíproca f(x) = \frac{1}{x} leva cada número ao seu inverso, um dividido por ele mesmo. Ela é a função racional mais simples, a função potência com expoente -1 e o exemplo clássico de limites infinitos, assíntotas e da derivada do logaritmo natural.

Fórmula

Gráfico de 1/x

O gráfico é uma hipérbole com dois ramos, um no primeiro quadrante e outro no terceiro.

Propriedades principais

• Domínio e imagem. Todos os reais exceto 0, nos dois casos.
• Função ímpar. \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}, então o gráfico é simétrico em relação à origem.
• Assíntotas. Assíntota vertical x = 0, assíntota horizontal y = 0.
• É a sua própria inversa. Resolvendo y = \frac{1}{x} para x obtemos x = \frac{1}{y}, então f^{-1} = f e o gráfico é simétrico em relação a y = x.
• Descontínua apenas em 0, que não pertence ao domínio. Ela é contínua no seu domínio.

Limites de 1/x

Como os limites laterais em 0 são diferentes, \lim_{x \to 0}\frac{1}{x} não existe. O limite no infinito é a peça básica dos limites no infinito de toda função racional.

Derivada de 1/x

Isso decorre da regra da potência com n = -1. A derivada é negativa em todo ponto onde está definida, então a função é decrescente em cada ramo, e as retas tangentes ficam mais íngremes perto de 0 e mais planas longe dele. A segunda derivada é \frac{2}{x^3}: concavidade para cima para x > 0 e concavidade para baixo para x < 0.

Integral de 1/x

A regra da potência inversa daria \frac{x^0}{0}, que não está definido, então \frac{1}{x} é a única potência cuja integral é um logaritmo natural. O valor absoluto cobre os x negativos: para x < 0, \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

Uma integral definida não pode atravessar x = 0: \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx é uma integral imprópria que diverge.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: reta tangente. Em x = 2, f(2) = \frac{1}{2} e f'(2) = -\frac{1}{4}, então a reta tangente é y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1.

Exemplo 2: integral definida. \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1.

Exemplo 3: uma recíproca deslocada. \frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2} e \int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C.

Erros comuns

1. Escrever \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0} ou \ln x sem o valor absoluto.
2. Errar o sinal da derivada. \frac{d}{dx}\frac{1}{x} é -\frac{1}{x^2}, e não \frac{1}{x^2}.
3. Confundir \frac{1}{x} com x^{-1} no sentido de função inversa. \frac{1}{f(x)} é uma recíproca, enquanto f^{-1}(x) normalmente indica a inversa. Para \frac{1}{x} as duas coincidem, o que é incomum.
4. Integrar atravessando a assíntota como se a função fosse contínua ali.

Como tudo se conecta

A área sob \frac{1}{t} de 1 até x é exatamente \ln x, que é uma das formas de definir o logaritmo natural. A página de funções potência trata da família x^n à qual \frac{1}{x} pertence, e a série harmônica \sum \frac{1}{n} é a sua prima discreta.