Funções polinomiais: grau, gráficos, derivadas e integrais
Funções polinomiais explicadas: grau, termo dominante, comportamento nas extremidades, raízes e pontos de virada, e como derivar e integrar.
Funções algébricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Domínio
- (-\infty, \infty)
- Derivada
- na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1
- Integral
- \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C
- Continuidade
- Contínua e diferenciável em todos os pontos
- Raízes reais
- No máximo n
- Pontos de virada
- No máximo n - 1
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Uma função polinomial é uma soma finita de funções potência com expoentes naturais, cada uma multiplicada por uma constante. Retas, parábolas e cúbicas são todas polinômios. Elas são as funções mais amigáveis do cálculo: contínuas em todos os pontos, suaves em todos os pontos e derivadas ou integradas termo a termo.
Definição e fórmula
- O grau é n, a maior potência com coeficiente diferente de zero.
- O termo dominante é a_nx^n e o coeficiente dominante é a_n.
- O termo independente a_0 é o ponto onde o gráfico corta o eixo y.
Os expoentes precisam ser números naturais 0, 1, 2, \ldots. Assim, x^3 - 2x é um polinômio, mas \sqrt{x}, \frac{1}{x} e 2^x não são.
| Grau | Nome | Exemplo |
|---|---|---|
| 0 | constante | 5 |
| 1 | afim (linear) | 2x - 1 |
| 2 | quadrática | x^2 + 3x |
| 3 | cúbica | x^3 - 3x |
| 4 | quártica | x^4 - x^2 |
Gráfico de um polinômio
Propriedades principais
- Contínua e diferenciável em todos os pontos. Sem buracos, saltos, bicos ou assíntotas, então todo limite é calculado por substituição direta.
- O comportamento nas extremidades vem só do termo dominante. Grau par com a_n > 0: as duas extremidades sobem. Grau ímpar com a_n > 0: desce à esquerda e sobe à direita. Um a_n negativo inverte o desenho.
- Raízes. Um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais. Um polinômio de grau ímpar sempre tem pelo menos uma, pelo Teorema do Valor Intermediário.
- Pontos de virada. No máximo n - 1, porque f' tem grau n - 1.
Derivada de um polinômio
Combine a regra da potência, a regra da constante multiplicativa e a regra da soma:
O termo independente desaparece e o grau diminui em uma unidade. Derivar n + 1 vezes dá 0.
Integral de um polinômio
O grau aumenta em uma unidade. Integrais definidas de polinômios são sempre fáceis de calcular com o Teorema Fundamental do Cálculo.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: derivada. \frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7.
Exemplo 2: pontos de virada. Para f(x) = x^3 - 3x, temos f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), que se anula em x = \pm 1. Então f(-1) = 2 é um máximo local e f(1) = -2 é um mínimo local.
Exemplo 3: integral. \int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C.
Exemplo 4: integral definida. \int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2.
Erros comuns
- Derivar um produto sem expandir nem usar a regra do produto. \frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right] não é 2x \cdot 1. Expanda primeiro ou use a regra do produto.
- Manter o termo independente na derivada. \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x, e não 2x + 5.
- Esquecer o +\,C nas integrais indefinidas.
- Julgar o comportamento nas extremidades pelo primeiro termo escrito. Use o termo de maior grau, onde quer que ele apareça.
Como se conecta
Dividindo dois polinômios, obtemos as funções racionais. Os polinômios de Taylor aproximam outras funções por polinômios, e as séries de Taylor levam essa ideia a infinitos termos. Para as regras por trás de cada passo, veja funções potência.
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