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Fonctions algébriques

Fonctions rationnelles : asymptotes, trous, dérivées et primitives

Les fonctions rationnelles P(x)/Q(x) : domaine, asymptotes verticales et horizontales, trous, dérivée par la règle du quotient et éléments simples.

Fonctions algébriques Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0
Domaine de définition
Tous les x tels que Q(x) \ne 0
Dérivée
\frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}
Primitive
\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C
Asymptotes verticales
Racines de Q qui ne se simplifient pas
Asymptote horizontale
Comparer les degrés de P et Q
Méthode d'intégration
Division euclidienne, puis décomposition en éléments simples
Sur cette page
  1. Définition et formule
  2. Courbe d'une fonction rationnelle
  3. Asymptotes et trous
  4. Dérivée d'une fonction rationnelle
  5. Intégrer une fonction rationnelle
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes
  8. Liens avec le reste du cours

Une fonction rationnelle est le quotient d'un polynôme par un autre. Elle est définie partout sauf là où le dénominateur s'annule, et son comportement au voisinage de ces points, asymptotes et trous, la rend centrale pour les limites, l'étude de fonctions et l'intégration.

Définition et formule

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \ne 0

P et Q sont des polynômes et Q n'est pas le polynôme nul. L'exemple le plus simple est la fonction inverse \frac{1}{x}. Parmi les autres, on trouve \frac{2x + 1}{x - 1} et \frac{x^2 - 4}{x - 2}.

Courbe d'une fonction rationnelle

Courbe de la fonction rationnelle y = (2x + 1)/(x - 1) et ses asymptotes
L'asymptote verticale est x = 1 et l'asymptote horizontale est y = 2, le quotient des coefficients dominants.

Asymptotes et trous

Commencez par factoriser complètement P et Q.

  • Trou. Un facteur (x - a) qui se simplifie en haut et en bas laisse une discontinuité éliminable en x = a. Exemple : \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 pour x \ne 2, une droite avec un trou en (2, 4).
  • Asymptote verticale. Une racine a du dénominateur qui subsiste après simplification. Au voisinage de x = a, la fonction tend vers \pm\infty, donc les limites à gauche et à droite sont infinies.
  • Asymptote horizontale. Elle se déduit des limites à l'infini, avec \deg P = m et \deg Q = n :
Degrés Comportement quand x \to \pm\infty
m < n asymptote y = 0
m = n asymptote y = \frac{\text{coeff. dominant de } P}{\text{coeff. dominant de } Q} (quotient des coefficients dominants)
m = n + 1 asymptote oblique obtenue par division euclidienne
m > n + 1 pas d'asymptote droite

Dérivée d'une fonction rationnelle

On utilise la règle du quotient :

\frac{d}{dx}\,\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}

La dérivée est encore une fonction rationnelle, avec les mêmes points exclus de son domaine de définition.

Intégrer une fonction rationnelle

Il n'existe pas de formule unique. La méthode classique est la suivante :

  1. Si \deg P \ge \deg Q, on effectue la division euclidienne pour obtenir un polynôme plus une fraction propre.
  2. On factorise Q et on décompose la fraction propre en éléments simples.
  3. On intègre chaque morceau. Les facteurs du premier degré donnent des logarithmes, \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C ; les facteurs du second degré irréductibles donnent des arc tangentes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : asymptotes. Pour f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}, rien ne se simplifie, donc x = 1 est une asymptote verticale. Les degrés sont égaux, donc y = \frac{2}{1} = 2 est l'asymptote horizontale.

Exemple 2 : dérivée. Avec P = 2x + 1 et Q = x - 1 :

f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}

La dérivée est toujours négative, donc f est décroissante de chaque côté de l'asymptote.

Exemple 3 : une limite avec un trou. \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.

Exemple 4 : primitive par éléments simples. Comme \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1},

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

Erreurs fréquentes

  1. Considérer chaque racine du dénominateur comme une asymptote. Simplifiez d'abord les facteurs communs ; les facteurs simplifiés donnent des trous.
  2. Simplifier des termes au lieu de facteurs. \frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}. Seuls les facteurs communs se simplifient.
  3. Inverser l'ordre dans la règle du quotient. Le numérateur est P'Q - PQ' ; l'inverser change le signe.
  4. Décomposer en éléments simples une fraction impropre. Effectuez d'abord la division lorsque \deg P \ge \deg Q.

Liens avec le reste du cours

Les fonctions rationnelles sont la source classique des limites de la forme \frac{0}{0}, le cas d'école de la règle de L'Hôpital, et la principale application de la décomposition en éléments simples en Analyse 2. Leur étude mobilise tous les outils de l'étude de fonctions.

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Questions fréquentes

Comment trouver les asymptotes verticales d'une fonction rationnelle ?
On factorise et on simplifie les facteurs communs, puis on annule le dénominateur restant. Chaque racine restante donne une asymptote verticale ; un facteur simplifié donne un trou à la place.

Comment trouver l'asymptote horizontale d'une fonction rationnelle ?
On compare les degrés. Si le dénominateur est de plus haut degré, l'asymptote est y = 0. Si les degrés sont égaux, c'est le quotient des coefficients dominants. Si le numérateur est de plus haut degré, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Comment dériver une fonction rationnelle ?
On utilise la règle du quotient : \left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}. Pour un dénominateur simple, il peut être plus rapide de réécrire avec un exposant négatif et d'utiliser la règle de dérivation en chaîne.

Comment intégrer une fonction rationnelle ?
Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, on effectue d'abord la division euclidienne. Puis on décompose la fraction propre en éléments simples, qui s'intègrent en logarithmes, en puissances et en arc tangentes.

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