Integral de sec x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \sec x es \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Es famosa porque la deducción habitual se basa en un truco que a nadie se le ocurriría a la primera, y vuelve a aparecer dentro de integrales más difíciles como \int\sec^3 x\,dx.

Gráfica de sec x y el área bajo ella

Deducción paso a paso

1. Multiplica por una forma ingeniosa de 1: \int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx
2. Fíjate en el denominador u = \sec x + \tan x. Su derivada es \sec x\tan x + \sec^2 x, que es exactamente el numerador.
3. Así que du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx y la integral se convierte en \int\frac{du}{u}.
4. Integra: \ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

El paso 2 usa la derivada de sec x y la derivada de tan x. El paso 4 usa la integral de 1/x.

Comprobación derivando

Formas equivalentes

Puede que veas otros resultados en tablas o en programas de cálculo. Todos son la misma función.

Como \sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}, al elevar al cuadrado se obtiene

Así que \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert. Una identidad del ángulo mitad da además \ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert. Esta última forma es la que usa la proyección cartográfica de Mercator para espaciar los paralelos, y así fue como se descubrió la integral.

Integrales definidas

Como \sec x es par, \int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a) para 0 < a < \frac{\pi}{2}.

Variantes por sustitución

Por ejemplo, \int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: reescribe primero. \int\frac{1}{\cos x}\,dx es simplemente \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Ejemplo 2: una suma. \int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C.

Ejemplo 3: dentro de una integral mayor. La integración por partes convierte \int\sec^3 x\,dx en \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx. Consulta la integral de sec³ x.

Ejemplo 4: tras una sustitución trigonométrica. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} con x = \tan\theta se convierte en \int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C.

Errores comunes

1. Responder \sec x\tan x. Esa es la derivada de \sec x. Su integral está en la página de la integral de sec x tan x, en sentido contrario.
2. Responder \ln\lvert\sec x\rvert. Esa es la integral de tan x.
3. Responder \tan x. Eso sale de \sec^2 x, no de \sec x.
4. Quitar el valor absoluto en intervalos donde \sec x + \tan x < 0.

La versión con cosecante funciona igual: consulta la integral de csc x.