Integral de sen² x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \sin^2 x é \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C. A chave é uma identidade de redução de potência que transforma o quadrado em algo que se integra termo a termo.

Gráfico de sen² x e de sua primitiva

O gráfico de \sin^2 x oscila entre 0 e 1 com período \pi, centrado em y = \frac{1}{2}. Por isso a primitiva cresce, em média, como \frac{x}{2}.

Dedução, passo a passo

1. Parta da identidade do arco duplo \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
2. Isole \sin^2 x: \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.
3. Substitua na integral: \int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx
4. Integre cada termo. \int 1\,dx = x e \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, pela integral de cos x com a = 2.
5. Junte: \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.

Usando \sin 2x = 2\sin x\cos x, também dá para escrever a resposta como \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C.

Verificação por derivação

O sentido direto está na página da derivada de sen² x: \frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x.

Integrais definidas

Na última linha: \frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143.

Um atalho: num período completo, \sin^2 x e \cos^2 x têm a mesma área, e juntas integram 1. Então cada uma fica com metade do comprimento do intervalo.

Variantes por substituição

Para \sin^2(ax), use \sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}:

Assim, \int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C.

Quando há um fator \cos x, dispense a identidade e substitua u = \sin x:

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: valor médio. O valor médio de \sin^2 x em [0, 2\pi] é \frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}. É por isso que a potência em corrente alternada usa o fator \frac{1}{2} (e o valor eficaz usa \frac{1}{\sqrt{2}}).

Exemplo 2: volume. Girar um arco de y = \sin x em torno do eixo x gera um sólido de volume \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}.

Exemplo 3: sen⁴ x. Eleve a identidade ao quadrado: \sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}, e depois reduza \cos^2 2x de novo. O resultado é \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C.

Erros comuns

1. Responder \frac{\sin^3 x}{3}. Sua derivada é \sin^2 x\cos x, e não \sin^2 x.
2. Responder -\cos^2 x. Sua derivada é 2\sin x\cos x = \sin 2x.
3. Usar o sinal errado na identidade. Para \sin^2 é 1 - \cos 2x. Para \cos^2 é 1 + \cos 2x.
4. Esquecer de dividir \sin 2x por 2 ao integrar \cos 2x, o que dá \frac{\sin 2x}{2} em vez de \frac{\sin 2x}{4} no final.

A seguir: a integral de cos² x usa a mesma ideia. Pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.