Integral de sen² x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de sen² x es x/2 - sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias paso a paso, la comprobación derivando, sen²(ax) e integrales definidas.
Integrales trigonométricas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C
- Identidad usada
- \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}
- Forma equivalente
- \dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C
- De 0 a π
- \dfrac{\pi}{2}
- Valor medio
- \dfrac{1}{2} en un periodo completo
En esta página
La integral de \sin^2 x es \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C. La clave es una identidad de reducción de potencias que convierte el cuadrado en algo que se puede integrar término a término.
Gráfica de sen² x y su antiderivada
La gráfica de \sin^2 x oscila entre 0 y 1 con periodo \pi, centrada en y = \frac{1}{2}. Por eso la antiderivada crece, en promedio, como \frac{x}{2}.
Deducción paso a paso
- Parte de la identidad del ángulo doble \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
- Despeja \sin^2 x: \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.
- Sustituye en la integral: \int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx
- Integra cada término. \int 1\,dx = x y \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, por la integral de cos x con a = 2.
- Junta todo: \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.
Usando \sin 2x = 2\sin x\cos x, también puedes escribir el resultado como \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C.
Comprobación derivando
El sentido directo está en la página de la derivada de sen² x: \frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x.
Integrales definidas
| Integral | Valor |
|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{4} |
| \int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx | \pi |
| \int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} |
Para la última fila: \frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143.
Un atajo: en un periodo completo, \sin^2 x y \cos^2 x encierran la misma área, y juntas integran 1. Así que a cada una le corresponde la mitad de la longitud del intervalo.
Variantes por sustitución
Para \sin^2(ax), usa \sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}:
Así, \int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C.
Cuando hay un factor \cos x, sáltate la identidad y haz el cambio u = \sin x:
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: valor medio. El valor medio de \sin^2 x en [0, 2\pi] es \frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}. Por eso la potencia en corriente alterna usa el factor \frac{1}{2} (y el valor eficaz usa \frac{1}{\sqrt{2}}).
Ejemplo 2: volumen. Al girar un arco de y = \sin x alrededor del eje x se obtiene un sólido de volumen \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}.
Ejemplo 3: sen⁴ x. Eleva la identidad al cuadrado: \sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}, y vuelve a reducir \cos^2 2x. El resultado es \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C.
Errores comunes
- Responder \frac{\sin^3 x}{3}. Su derivada es \sin^2 x\cos x, no \sin^2 x.
- Responder -\cos^2 x. Su derivada es 2\sin x\cos x = \sin 2x.
- Usar la identidad con el signo equivocado. Para \sin^2 es 1 - \cos 2x. Para \cos^2 es 1 + \cos 2x.
- Olvidar dividir \sin 2x entre 2 al integrar \cos 2x, lo que da \frac{\sin 2x}{2} en lugar de \frac{\sin 2x}{4} al final.
Siguiente: la integral de cos² x usa la misma idea. Practica con los ejercicios de integrales trigonométricas.
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