Fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du y ejemplos
La fórmula de integración por partes ∫u dv = uv − ∫v du, cómo elegir u con LIATE, la versión para integrales definidas y ejemplos con ln x, x·eˣ y x·cos x.
Reglas de integración Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Invierte
- La regla del producto para derivadas
- Cuándo usarla
- El integrando es un producto de dos tipos de función distintos, como x\,e^x o x\cos x
- Cómo elegir u
- LIATE: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales
- Versión definida
- \int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du
- Objetivo
- La nueva integral \int v\,du debe ser más sencilla que la original
En esta página
La integración por partes es la regla del producto para derivadas, reorganizada para integrar productos. Cambia una integral por otra y, cuando u y dv están bien elegidos, la nueva integral es más fácil que la original.
La fórmula de integración por partes
Para funciones derivables u y v:
En notación de funciones, con u = f(x) y dv = g'(x)\,dx:
Para una integral definida, evalúa el término uv en los límites:
De dónde sale
La regla del producto dice que (uv)' = u'v + uv'. Integra ambos lados y reordena:
Cómo elegir u con LIATE
Elige como u el factor que se vuelve más sencillo al derivarlo, y como dv un factor que sepas integrar. LIATE ordena las opciones para u:
| Letra | Tipo | Ejemplo |
|---|---|---|
| L | Logarítmica | \ln x |
| I | Inversa trigonométrica | \arctan x |
| A | Algebraica | x^2, 3x + 1 |
| T | Trigonométrica | \sin x, \cos x |
| E | Exponencial | e^x, 2^x |
Toma u del primer tipo que aparezca. LIATE es una orientación, no una ley, pero funciona en casi todos los ejercicios de los libros de texto.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \int x\,e^x\,dx. Las algebraicas van antes que las exponenciales, así que u = x y dv = e^x\,dx. Entonces du = dx y v = e^x:
Ejemplo 2: \int x\cos x\,dx. Toma u = x, dv = \cos x\,dx, de modo que du = dx y v = \sin x:
Ejemplo 3: \int \ln x\,dx. Solo hay un factor, así que toma u = \ln x y dv = dx. Entonces du = \frac{1}{x}\,dx y v = x:
Ejemplo 4: una integral definida. Usando el ejemplo 1:
Ejemplo 5: partes dos veces. En \int x^2 e^x\,dx, la primera vuelta con u = x^2 deja \int 2x\,e^x\,dx, que necesita una segunda vuelta. El resultado es
Ejemplo 6: la integral vuelve a aparecer. En \int e^x \sin x\,dx, aplicar partes dos veces devuelve la integral original I con signo menos. Al resolver I = e^x\sin x - e^x\cos x - I se obtiene
Cómo comprobar el resultado
Deriva con la regla del producto y deberías recuperar el integrando. Para el ejemplo 2:
La comprobación es rápida y detecta la mayoría de los errores de signo. Un hábito útil: después de elegir u y dv, escribe u, du, v y dv en un pequeño cuadro de dos por dos antes de sustituir en la fórmula, para no perder nada.
Errores comunes
- Elegir u al revés. Con u = e^x y dv = x\,dx, la nueva integral \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx es más difícil que la de partida.
- Olvidar el signo menos. La fórmula es uv - \int v\,du, con un menos. Cuando aplicas partes dos veces, sigue los signos con cuidado.
- No evaluar uv en los límites. En una integral definida, también hay que evaluar uv de a a b.
- Añadir +C a v. Puedes tomar cualquier antiderivada (primitiva) como v. Basta con un +C al final.
Cuando un producto es en realidad una composición por la derivada de la función interior, la integración por sustitución es más rápida. Para la integración tabular, más práctica con LIATE y ejemplos más difíciles, lee la guía completa de integración por partes.
Practícalo ahora
Integración por partes
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección