Partielle Integration: Formel ∫u dv = uv − ∫v du, LIATE, Beispiele
Die Formel der partiellen Integration ∫u dv = uv − ∫v du, wie LIATE das u wählt, die Version für bestimmte Integrale und Beispiele mit ln x, x·eˣ und x·cos x.
Integrationsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Umkehrung von
- Der Produktregel für Ableitungen
- Einsatz
- Der Integrand ist ein Produkt zweier verschiedenartiger Funktionen, etwa x\,e^x oder x\cos x
- Wahl von u
- LIATE: Logarithmus, Inverse Winkelfunktion (Arkusfunktion), Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentialfunktion
- Bestimmtes Integral
- \int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du
- Ziel
- Das neue Integral \int v\,du soll einfacher sein als das ursprüngliche
Auf dieser Seite
Die partielle Integration ist die Produktregel für Ableitungen, umgestellt, um Produkte zu integrieren. Sie tauscht ein Integral gegen ein anderes, und wenn u und dv gut gewählt sind, ist das neue Integral leichter als das ursprüngliche.
Die Formel der partiellen Integration
Für differenzierbare Funktionen u und v gilt:
In Funktionsschreibweise, mit u = f(x) und dv = g'(x)\,dx:
Bei einem bestimmten Integral wertest du den Term uv an den Grenzen aus:
Woher die Formel kommt
Die Produktregel besagt (uv)' = u'v + uv'. Integriere beide Seiten und stelle um:
Die Wahl von u mit LIATE
Wähle als u den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird, und als dv einen Faktor, den du integrieren kannst. LIATE ordnet die Kandidaten für u:
| Buchstabe | Typ | Beispiel |
|---|---|---|
| L | Logarithmus | \ln x |
| I | Inverse Winkelfunktion | \arctan x |
| A | Algebraisch | x^2, 3x + 1 |
| T | Trigonometrisch | \sin x, \cos x |
| E | Exponentialfunktion | e^x, 2^x |
Nimm u aus dem vordersten vorkommenden Typ. LIATE ist eine Faustregel, kein Gesetz, funktioniert aber bei fast jeder Lehrbuchaufgabe.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: \int x\,e^x\,dx. Algebraisch steht vor Exponentialfunktion, also u = x und dv = e^x\,dx. Dann ist du = dx und v = e^x:
Beispiel 2: \int x\cos x\,dx. Setze u = x, dv = \cos x\,dx, also du = dx und v = \sin x:
Beispiel 3: \int \ln x\,dx. Es gibt nur einen Faktor, also setze u = \ln x und dv = dx. Dann ist du = \frac{1}{x}\,dx und v = x:
Beispiel 4: ein bestimmtes Integral. Mit Beispiel 1:
Beispiel 5: zweimal partiell integrieren. Bei \int x^2 e^x\,dx bleibt nach der ersten Runde mit u = x^2 das Integral \int 2x\,e^x\,dx übrig, das eine zweite Runde braucht. Das Ergebnis ist
Beispiel 6: das Integral kehrt zurück. Bei \int e^x \sin x\,dx liefert zweimal partielle Integration wieder das Ausgangsintegral I mit einem Minuszeichen. Löst man I = e^x\sin x - e^x\cos x - I auf, erhält man
Das Ergebnis überprüfen
Leite mit der Produktregel ab, dann solltest du den Integranden zurückerhalten. Für Beispiel 2:
Die Probe geht schnell und deckt die meisten Vorzeichenfehler auf. Eine nützliche Gewohnheit: Schreibe nach der Wahl von u und dv die vier Größen u, du, v und dv in ein kleines Zwei-mal-zwei-Kästchen, bevor du sie in die Formel einsetzt, damit nichts verloren geht.
Häufige Fehler
- u falsch herum wählen. Mit u = e^x und dv = x\,dx ist das neue Integral \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx schwerer als das, mit dem du angefangen hast.
- Das Minuszeichen vergessen. Die Formel lautet uv - \int v\,du, mit einem Minus. Wenn du zweimal partiell integrierst, achte genau auf die Vorzeichen.
- uv nicht an den Grenzen auswerten. Bei einem bestimmten Integral muss auch uv von a bis b ausgewertet werden.
- Bei v ein +C ergänzen. Für v darfst du jede beliebige Stammfunktion nehmen. Ein +C ganz am Ende genügt.
Ist ein Produkt in Wahrheit eine Verkettung mal innerer Ableitung, ist die Substitutionsregel schneller. Tabellarische Integration, mehr Übung mit LIATE und schwierigere Beispiele findest du im ausführlichen Leitfaden zur partiellen Integration.
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