Kettenregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und typische Formen
Die Kettenregel: Die Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))·g'(x). Die Formel in beiden Schreibweisen, eine Tabelle typischer Formen, Beispiele und Fehler.
Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Anwendbar auf
- Verkettungen, also eine Funktion in einer anderen Funktion
- In Worten
- Äußere Ableitung (mit unveränderter innerer Funktion) mal innere Ableitung
- Leibniz-Schreibweise
- \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
- Erkennungsmerkmal
- Alles außer einem bloßen x in einer Potenz, Wurzel, trigonometrischen Funktion, Exponentialfunktion oder einem Logarithmus
- Gegenstück beim Integrieren
- Substitutionsregel
Auf dieser Seite
Mit der Kettenregel leitest du eine Verkettung ab, also eine Funktion, die in einer anderen steckt. Du bildest die Ableitung der äußeren Funktion, lässt die innere Funktion unverändert und multiplizierst mit der Ableitung der inneren Funktion. Fast jede nicht triviale Ableitung braucht sie.
Die Formel der Kettenregel
Ist g an der Stelle x differenzierbar und f an der Stelle g(x) differenzierbar, dann gilt
In Leibniz-Schreibweise, mit y = f(u) und u = g(x):
Stell dir vor, dass sich Änderungsraten multiplizieren: Ändert sich y dreimal so schnell wie u und u zweimal so schnell wie x, dann ändert sich y 3 \cdot 2 = 6-mal so schnell wie x.
Typische Formen der Kettenregel
Hier ist u eine beliebige differenzierbare Funktion von x und u' ihre Ableitung.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| u^n | n\,u^{n-1}\,u' |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| e^u | e^u\,u' |
| \ln u | \frac{u'}{u} |
| \sin u | \cos u \cdot u' |
| \cos u | -\sin u \cdot u' |
| \tan u | \sec^2 u \cdot u' |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Potenz eines Polynoms. Außen: u^5. Innen: u = x^2 + 1, u' = 2x:
Beispiel 2: trigonometrische Funktion. Außen: \sin u. Innen: u = 3x:
Beispiel 3: Exponentialfunktion. Außen: e^u. Innen: u = x^2:
Beispiel 4: eine Quadratwurzel. Schreibe \sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}:
Beispiel 5: Logarithmus. Außen: \ln u. Innen: u = \cos x:
Beispiel 6: drei Schichten. \sin^2(5x) bedeutet [\sin(5x)]^2. Schäle von außen nach innen: Quadrat, dann Sinus, dann 5x:
So erkennst du eine Verkettung
Frag dich: "Was würde ich zuletzt rechnen, wenn ich hier eine Zahl einsetze?" Diese letzte Operation ist die äußere Funktion. Alles, worauf sie wirkt, ist die innere Funktion.
- (3x + 1)^4: Der letzte Schritt ist das Potenzieren mit 4. Innen steht 3x + 1.
- e^{\sin x}: Der letzte Schritt ist e^{(\ )}. Innen steht \sin x.
- \sin x^2 bedeutet meist \sin(x^2): Innen steht x^2. Dagegen bedeutet \sin^2 x dasselbe wie (\sin x)^2: Innen steht \sin x.
Ist die innere Funktion einfach x, so ist die innere Ableitung 1 und die Kettenregel ändert nichts.
Häufige Fehler
- Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3, nicht 4(3x + 1)^3. Das ist der häufigste Ableitungsfehler überhaupt.
- Das Innere verändern. Die äußere Ableitung wird an der ursprünglichen inneren Funktion ausgewertet: \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x, nicht \cos(2x).
- Verwechslung mit der Produktregel. \sin(x^2) ist eine Verkettung, x^2\sin x dagegen ein Produkt. Siehe die Produktregel.
- Nach einer Schicht aufhören. In e^{\sin(2x)} stecken drei Schichten, und das Ergebnis 2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)} braucht alle drei Ableitungen.
Die Kettenregel ist außerdem der Motor hinter dem impliziten Differenzieren, den verknüpften Änderungsraten und der Substitutionsregel. Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zur Kettenregel.
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