Regla de la cadena para derivadas: fórmula, ejemplos y casos comunes
La regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))·g'(x). La fórmula en ambas notaciones, tabla de casos comunes, ejemplos resueltos y errores.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Composiciones, una función dentro de otra función
- En palabras
- Derivada de la función externa (sin tocar la interna) por la derivada de la interna
- Forma de Leibniz
- \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
- Cómo reconocerla
- Cualquier cosa distinta de x sola dentro de una potencia, raíz, función trigonométrica, exponencial o logaritmo
- Versión para integrales
- Integración por sustitución
En esta página
La regla de la cadena sirve para derivar una composición, es decir, una función dentro de otra. Derivas la función externa, dejas la función interna como está y multiplicas por la derivada de la función interna. Casi todas las derivadas no triviales la usan.
Fórmula de la regla de la cadena
Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces
En notación de Leibniz, con y = f(u) y u = g(x):
Piensa en razones de cambio que se multiplican: si y cambia 3 veces más rápido que u, y u cambia 2 veces más rápido que x, entonces y cambia 3 \cdot 2 = 6 veces más rápido que x.
Casos comunes de la regla de la cadena
Aquí u es cualquier función derivable de x y u' es su derivada.
| Función | Derivada |
|---|---|
| u^n | n\,u^{n-1}\,u' |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| e^u | e^u\,u' |
| \ln u | \frac{u'}{u} |
| \sin u | \cos u \cdot u' |
| \cos u | -\sin u \cdot u' |
| \tan u | \sec^2 u \cdot u' |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: potencia de un polinomio. Externa: u^5. Interna: u = x^2 + 1, u' = 2x:
Ejemplo 2: trigonométrica. Externa: \sin u. Interna: u = 3x:
Ejemplo 3: exponencial. Externa: e^u. Interna: u = x^2:
Ejemplo 4: raíz cuadrada. Escribe \sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}:
Ejemplo 5: logaritmo. Externa: \ln u. Interna: u = \cos x:
Ejemplo 6: tres capas. \sin^2(5x) significa [\sin(5x)]^2. Quita las capas de afuera hacia adentro: el cuadrado, luego el seno y luego 5x:
Cómo reconocer una composición
Pregúntate: "Para evaluar esto en un número, ¿qué calcularía al final?". Esa última operación es la función externa. Todo aquello sobre lo que actúa es la función interna.
- (3x + 1)^4: el último paso es elevar a la cuarta potencia. La interna es 3x + 1.
- e^{\sin x}: el último paso es e^{(\ )}. La interna es \sin x.
- \sin x^2 suele significar \sin(x^2): la interna es x^2. Pero \sin^2 x significa (\sin x)^2: la interna es \sin x.
Si la función interna es simplemente x, la derivada interna es 1 y la regla de la cadena no cambia nada.
Errores comunes
- Olvidar la derivada interna. \frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3, no 4(3x + 1)^3. Es el error de derivación más frecuente de todos.
- Cambiar lo de adentro. La derivada externa se evalúa en la función interna original: \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x, no \cos(2x).
- Confundirla con la regla del producto. \sin(x^2) es una composición, mientras que x^2\sin x es un producto. Consulta la regla del producto.
- Detenerse después de una capa. En e^{\sin(2x)} hay tres capas, y la respuesta 2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)} necesita las tres derivadas.
La regla de la cadena también es el motor de la derivación implícita, de las razones de cambio relacionadas y de la integración por sustitución. Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre la regla de la cadena.
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