Critère du terme général : divergence grossière et exemples

Le critère du terme général (ou test de divergence) est la vérification la plus rapide dans l'étude des séries. Une série ne peut avoir une somme finie que si ses termes tendent vers zéro : si ce n'est pas le cas, la série diverge. On dit alors qu'elle diverge grossièrement.

L'énoncé

Pour toute série \sum a_n :

La forme équivalente est une condition nécessaire de convergence :

La réciproque est fausse. Que les termes tendent vers zéro est nécessaire, mais pas suffisant.

Pourquoi ça marche

Soit S_n la n-ième somme partielle. Alors a_n = S_n - S_{n-1}. Si la série converge vers S, S_n et S_{n-1} tendent toutes deux vers S, donc

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Exemples corrigés

Exemple 1 : une fraction rationnelle. Pour \sum \frac{n}{2n+1} :

La série diverge. On additionne indéfiniment des nombres proches de \frac{1}{2}.

Exemple 2 : des termes oscillants. Pour \sum (-1)^n, les termes alternent entre 1 et -1, donc \lim a_n n'existe pas. La série diverge.

Exemple 3 : un terme trigonométrique. Pour \sum \cos\left(\frac{1}{n}\right), \frac{1}{n} \to 0 et \cos 0 = 1, donc a_n \to 1. La série diverge.

Exemple 4 : une limite célèbre. Pour \sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, les termes tendent vers e \ne 0. La série diverge.

Exemple 5 : on ne peut pas conclure. Pour \sum \frac{1}{n^2} et \sum \frac{1}{n}, les termes tendent vers 0 dans les deux cas. Le critère ne dit rien. En réalité, \sum \frac{1}{n^2} converge et \sum \frac{1}{n} diverge, ce que révèlent d'autres critères (la comparaison série-intégrale ou la règle des séries de Riemann, dites p-séries).

Divergence ou convergence en un coup d'œil

Voyez ce critère comme une porte d'entrée. Toute série convergente la franchit, car ses termes doivent tendre vers zéro. Beaucoup de séries divergentes sont arrêtées à la porte, mais certaines, comme la série harmonique, passent quand même et ne révèlent leur divergence qu'avec un critère plus fort. Un échec au critère est donc une réponse définitive, alors qu'un succès signifie seulement que le vrai travail reste à faire. Cette logique à sens unique est la chose la plus importante à retenir sur ce critère.

Erreurs fréquentes

1. Conclure à la convergence parce que a_n \to 0. C'est l'erreur la plus courante sur les séries. La série harmonique est le contre-exemple.
2. Prendre la limite des sommes partielles au lieu de celle des termes. Le critère porte sur a_n, le terme général.
3. Oublier le cas où la limite n'existe pas. Des termes oscillants comme (-1)^n ou \sin n ne tendent pas non plus vers 0.
4. Le sauter. Appliquer le critère de d'Alembert à \sum \frac{n}{2n+1} donne une limite égale à 1 et aucune réponse, alors que le critère du terme général règle la question immédiatement.

Où il intervient

Utilisez le critère du terme général comme première étape pour toute série. Si les termes tendent bien vers zéro, passez à la suite : essayez la formule de la série géométrique pour une raison constante, le critère des séries alternées pour des signes alternés, et le critère de d'Alembert pour les factorielles et les exponentielles. Le guide complet des critères de convergence montre comment choisir entre eux.