Criterio del término n-ésimo (de divergencia): enunciado y ejemplos

El criterio del término n-ésimo (o criterio de divergencia) es la comprobación más rápida en el estudio de las series. Una serie solo puede sumar un número finito si sus términos tienden a cero, así que si no lo hacen, la serie diverge.

El enunciado

Para cualquier serie \sum a_n:

La forma equivalente es una condición necesaria de convergencia:

El recíproco es falso. Que los términos tiendan a cero es necesario, pero no suficiente.

Por qué funciona

Sea S_n la n-ésima suma parcial. Entonces a_n = S_n - S_{n-1}. Si la serie converge a S, tanto S_n como S_{n-1} tienden a S, así que

Cómo leer el resultado

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una expresión racional. Para \sum \frac{n}{2n+1}:

La serie diverge. Estás sumando indefinidamente números cercanos a \frac{1}{2}.

Ejemplo 2: términos que oscilan. Para \sum (-1)^n, los términos alternan entre 1 y -1, así que \lim a_n no existe. La serie diverge.

Ejemplo 3: un término trigonométrico. Para \sum \cos\left(\frac{1}{n}\right), \frac{1}{n} \to 0 y \cos 0 = 1, así que a_n \to 1. La serie diverge.

Ejemplo 4: un límite famoso. Para \sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, los términos tienden a e \ne 0. La serie diverge.

Ejemplo 5: no concluyente. Para \sum \frac{1}{n^2} y \sum \frac{1}{n}, los términos tienden a 0 en ambos casos. El criterio no dice nada. De hecho, \sum \frac{1}{n^2} converge y \sum \frac{1}{n} diverge, algo que muestran otros criterios (el criterio de la integral o la regla de las series p).

Divergencia y convergencia de un vistazo

Piensa en el criterio como una puerta. Toda serie convergente la atraviesa, porque sus términos deben tender a cero. Muchas series divergentes se quedan en la puerta, pero algunas, como la serie armónica, logran pasar y solo revelan su divergencia ante un criterio más fuerte. Así que no superar la comprobación es una respuesta definitiva, mientras que superarla solo significa que el trabajo de verdad aún está por hacer. Esta lógica en un solo sentido es lo más importante que hay que recordar del criterio.

Errores comunes

1. Concluir convergencia a partir de a_n \to 0. Es el error más común con series. La serie armónica es el contraejemplo.
2. Calcular el límite de las sumas parciales en lugar del de los términos. El criterio usa a_n, los términos individuales.
3. Olvidar el caso en que el límite no existe. Los términos que oscilan, como (-1)^n o \sin n, tampoco tienden a 0.
4. Saltárselo. Aplicar el criterio del cociente a \sum \frac{n}{2n+1} da un límite de 1 y ninguna respuesta, mientras que el criterio del término n-ésimo lo resuelve al instante.

Dónde encaja

Usa el criterio del término n-ésimo como primer paso con cualquier serie. Si los términos sí tienden a cero, pasa a otra herramienta: prueba la fórmula de la serie geométrica si la razón es constante, el criterio de series alternadas si los signos alternan y el criterio del cociente si hay factoriales y exponenciales. La guía completa de criterios de convergencia explica cómo elegir entre ellos.