Théorème de Stokes : énoncé, orientation et exemples corrigés

Le théorème de Stokes affirme que la circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe fermée de l'espace est égale au flux total du rotationnel à travers toute surface dont cette courbe est le bord. C'est la formule de Green-Riemann sortie du plan et transposée aux surfaces courbes.

Énoncé du théorème de Stokes

Soient

1. S une surface orientée, régulière par morceaux, de normale unitaire \mathbf{n},
2. C le bord de S, une courbe simple, fermée, régulière par morceaux, munie de l'orientation positive (règle de la main droite par rapport à \mathbf{n}), et
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle un champ admettant des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant S.

Alors

où \nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle et d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS.

Ce que signifie le théorème de Stokes

Le rotationnel en un point mesure à quel point le champ tourbillonne autour de ce point, comme une petite roue à aubes. Recouvrez la surface de petits morceaux et additionnez le tourbillon autour de chacun. Sur chaque arête commune, deux morceaux voisins sont parcourus en sens opposés et leurs contributions s'annulent : il ne reste que le tourbillon le long du bord extérieur, c'est-à-dire la circulation le long de C.

Conséquence frappante : la surface elle-même n'a pas d'importance, seul son bord compte. Une demi-sphère et un disque plan ayant le même bord circulaire ont le même flux du rotationnel.

Pourquoi chaque hypothèse compte

Orientations compatibles. Si C est parcourue dans le sens contraire à la règle de la main droite, l'intégrale curviligne change de signe mais pas l'intégrale de surface : l'égalité est alors fausse d'un facteur -1.

Régularité sur la surface. Le champ \mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle vérifie \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} partout où il est défini, mais sa circulation le long du cercle unité du plan xy vaut 2\pi. Toute surface bordée par ce cercle doit traverser l'axe des z, où \mathbf{F} n'est pas défini, donc le théorème de Stokes ne s'applique pas.

Une courbe qui borde la surface. Une surface fermée comme une sphère n'a pas de bord, donc \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0 pour elle. Cela concorde avec le théorème de flux-divergence, puisque \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une demi-sphère et son bord. Soit \mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle et soit S la moitié supérieure de la sphère unité, de normale dirigée vers le haut, de sorte que C est le cercle unité du plan xy, parcouru dans le sens trigonométrique vu d'en haut.

Intégrale curviligne. Avec \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle :

Intégrale de surface. \nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle. Comme seul le bord compte, on remplace la demi-sphère par le disque unité plan de normale \mathbf{k} : le flux vaut 2 \cdot \pi = 2\pi. Les deux membres coïncident.

Exemple 2 : un triangle dans l'espace. Calculer \oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz, où C est le triangle de sommets (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), parcouru dans le sens trigonométrique vu d'en haut.

Étape 1. Pour \mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle, \nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle.

Étape 2. On prend pour S le triangle plan situé sur le plan z = 1 - x - y, de normale dirigée vers le haut. Pour une surface d'équation z = g(x, y), d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA.

Étape 3. (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3, que l'on intègre sur la projection, le triangle x, y \ge 0, x + y \le 1 d'aire \frac{1}{2} :

Une seule intégrale de surface remplace trois intégrales curvilignes le long des côtés.

Exemple 3 : les champs de gradient. Si \mathbf{F} = \nabla f avec f de dérivées partielles secondes continues, alors \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} d'après le théorème de Schwarz, et le théorème de Stokes donne \oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0 pour toute courbe fermée qui borde une surface. Un champ de gradient ne fournit aucun travail net le long d'une boucle fermée.

Erreurs fréquentes

1. Orientations incompatibles. Choisissez d'abord la normale, puis orientez C avec la règle de la main droite.
2. Calculer le rotationnel de travers. Écrivez soigneusement le déterminant ; la composante du milieu est P_z - R_x, et non R_x - P_z.
3. Garder la surface compliquée. Si le rotationnel est simple, une surface plane de même bord est en général beaucoup plus facile.

Théorèmes et guides liés

Le théorème de Stokes généralise la formule de Green-Riemann et figure aux côtés du théorème de flux-divergence parmi les trois grands théorèmes de l'analyse vectorielle. Tous trois sont des versions en dimension supérieure du théorème fondamental de l'analyse. Pour le produit vectoriel qui sous-tend le rotationnel, consultez vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel, et pour les dérivées partielles, consultez dérivées partielles.