Satz von Stokes: Aussage, Orientierung und Rechenbeispiele

Der Satz von Stokes besagt, dass die Zirkulation eines Vektorfeldes längs einer geschlossenen Kurve im Raum gleich der gesamten Rotation ist, die durch eine beliebige Fläche mit dieser Kurve als Rand fließt. Er ist der Satz von Green, gelöst von der flachen Ebene und übertragen auf gekrümmte Flächen.

Aussage des Satzes von Stokes

Es sei

1. S eine orientierte, stückweise glatte Fläche mit Einheitsnormale \mathbf{n},
2. C der Rand von S, eine einfache, geschlossene, stückweise glatte Kurve mit positiver Orientierung (Rechte-Hand-Regel bezüglich \mathbf{n}), und
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle ein Feld mit stetigen partiellen Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das S enthält.

Dann gilt

mit \nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle und d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS.

Was der Satz von Stokes bedeutet

Die Rotation an einem Punkt misst, wie stark das Feld um diesen Punkt wirbelt, wie ein winziges Schaufelrad. Überdecke die Fläche mit kleinen Flächenstücken und addiere die Wirbelung um jedes Stück. Auf jeder gemeinsamen Kante laufen benachbarte Stücke in entgegengesetzte Richtungen und heben sich auf, sodass nur die Wirbelung um den äußeren Rand übrig bleibt, die Zirkulation längs C.

Eine bemerkenswerte Folgerung: Die Fläche selbst spielt keine Rolle, nur ihr Rand. Eine Halbkugel und eine ebene Kreisscheibe mit demselben kreisförmigen Rand haben denselben Fluss der Rotation.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Passende Orientierung. Läuft C entgegen der Rechte-Hand-Regel, ändert das Kurvenintegral sein Vorzeichen, das Flächenintegral aber nicht, und die Gleichung ist um den Faktor -1 falsch.

Glattheit auf der Fläche. Das Feld \mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle hat überall, wo es definiert ist, \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}, aber seine Zirkulation längs des Einheitskreises in der xy-Ebene beträgt 2\pi. Jede von diesem Kreis berandete Fläche muss die z-Achse schneiden, wo \mathbf{F} nicht definiert ist, also ist der Satz von Stokes nicht anwendbar.

Eine Randkurve. Eine geschlossene Fläche wie eine Kugel hat keinen Rand, also gilt für sie \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0. Das passt zum Divergenzsatz, denn \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eine Halbkugel und ihr Rand. Sei \mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle und S die obere Hälfte der Einheitskugel mit nach oben zeigender Normalen. Dann ist C der Einheitskreis in der xy-Ebene, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Kurvenintegral. Mit \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle:

Flächenintegral. \nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle. Da nur der Rand zählt, ersetze die Halbkugel durch die ebene Einheitskreisscheibe mit Normale \mathbf{k}: Der Fluss ist 2 \cdot \pi = 2\pi. Beide Seiten stimmen überein.

Beispiel 2: ein Dreieck im Raum. Berechne \oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz, wobei C das Dreieck mit den Ecken (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ist, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Schritt 1. Für \mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle gilt \nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle.

Schritt 2. Wähle als S das ebene Dreieck auf der Ebene z = 1 - x - y mit nach oben zeigender Normalen. Für einen Graphen z = g(x, y) gilt d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA.

Schritt 3. (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3, integriert über die Projektion, das Dreieck x, y \ge 0, x + y \le 1 mit Flächeninhalt \frac{1}{2}:

Ein Flächenintegral ersetzt drei Kurvenintegrale entlang der Kanten.

Beispiel 3: konservative Felder. Ist \mathbf{F} = \nabla f, wobei f stetige zweite partielle Ableitungen hat, dann gilt nach dem Satz von Schwarz \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}, und Stokes liefert \oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0 für jede geschlossene Kurve, die eine Fläche berandet. Gradientenfelder verrichten längs geschlossener Wege insgesamt keine Arbeit.

Häufige Fehler

1. Unpassende Orientierung. Lege zuerst die Normale fest und orientiere dann C mit der Rechte-Hand-Regel.
2. Die Rotation falsch berechnen. Schreibe die Determinante sorgfältig aus; die mittlere Komponente ist P_z - R_x, nicht R_x - P_z.
3. Die schwierige Fläche verwenden. Ist die Rotation einfach, ist eine ebene Fläche mit demselben Rand meist viel leichter.

Verwandte Sätze und Leitfäden

Der Satz von Stokes verallgemeinert den Satz von Green und steht neben dem Divergenzsatz als einer der drei großen Integralsätze der Vektoranalysis. Alle drei sind höherdimensionale Versionen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Zum Kreuzprodukt hinter der Rotation siehe Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt, und zu partiellen Ableitungen siehe partielle Ableitungen.