Teorema de Stokes: enunciado, orientación y ejemplos resueltos

El teorema de Stokes dice que la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada en el espacio es igual al rotacional total que atraviesa cualquier superficie que tenga esa curva como borde. Es el teorema de Green llevado del plano a superficies curvas.

Enunciado del teorema de Stokes

Sean

1. S una superficie orientada y suave a trozos con vector normal unitario \mathbf{n},
2. C el borde de S, una curva simple, cerrada y suave a trozos con orientación positiva (la regla de la mano derecha respecto de \mathbf{n}), y
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle un campo con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S.

Entonces

donde \nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle y d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS.

Qué significa el teorema de Stokes

El rotacional en un punto mide cuánto gira el campo alrededor de ese punto, como una pequeña rueda de paletas. Cubre la superficie con parches pequeños y suma el giro alrededor de cada parche. En cada borde compartido, los parches vecinos van en sentidos opuestos y se cancelan, así que solo queda el giro alrededor del borde exterior, la circulación a lo largo de C.

Una consecuencia sorprendente: la superficie no importa, solo su borde. Una semiesfera y un disco plano con el mismo borde circular tienen el mismo flujo del rotacional.

Por qué importa cada hipótesis

Orientación compatible. Si C se recorre en sentido contrario a la regla de la mano derecha, la integral de línea cambia de signo pero la integral de superficie no, así que la igualdad falla por un factor de -1.

Suavidad en la superficie. El campo \mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle cumple \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} en todos los puntos donde está definido, pero su circulación a lo largo de la circunferencia unitaria del plano xy es 2\pi. Toda superficie limitada por esa circunferencia debe cortar el eje z, donde \mathbf{F} no está definido, así que el teorema de Stokes no se aplica.

Una curva borde. Una superficie cerrada como una esfera no tiene borde, así que para ella \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0. Esto encaja con el teorema de la divergencia, ya que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una semiesfera frente a su borde. Sea \mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle y sea S la mitad superior de la esfera unitaria con normal hacia arriba, de modo que C es la circunferencia unitaria del plano xy, recorrida en sentido antihorario vista desde arriba.

Integral de línea. Con \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle:

Integral de superficie. \nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle. Como solo importa el borde, sustituye la semiesfera por el disco unitario plano con normal \mathbf{k}: el flujo es 2 \cdot \pi = 2\pi. Ambos lados coinciden.

Ejemplo 2: un triángulo en el espacio. Calcula \oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz, donde C es el triángulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), recorrido en sentido antihorario visto desde arriba.

Paso 1. Para \mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle, \nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle.

Paso 2. Toma como S el triángulo plano sobre el plano z = 1 - x - y con normal hacia arriba. Para una gráfica z = g(x, y), d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA.

Paso 3. (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3, integrado sobre la proyección, el triángulo x, y \ge 0, x + y \le 1 de área \frac{1}{2}:

Una sola integral de superficie sustituye a tres integrales de línea a lo largo de los lados.

Ejemplo 3: campos conservativos. Si \mathbf{F} = \nabla f con f de segundas derivadas parciales continuas, entonces \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} por el teorema de Clairaut, así que Stokes da \oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0 para toda curva cerrada que sea borde de una superficie. Los campos gradiente no realizan trabajo neto a lo largo de lazos cerrados.

Errores comunes

1. Orientaciones que no coinciden. Decide primero la normal y después orienta C con la regla de la mano derecha.
2. Calcular mal el rotacional. Desarrolla el determinante con cuidado; la componente central es P_z - R_x, no R_x - P_z.
3. Usar la superficie difícil. Si el rotacional es sencillo, una superficie plana con el mismo borde suele ser mucho más fácil.

Teoremas y guías relacionados

El teorema de Stokes generaliza el teorema de Green y, junto al teorema de la divergencia, es uno de los tres grandes teoremas del cálculo vectorial. Los tres son versiones en más dimensiones del Teorema Fundamental del Cálculo. Para el producto vectorial en el que se basa el rotacional, consulta vectores, producto escalar y producto vectorial, y para las derivadas parciales consulta derivadas parciales.