Ableitung der Betragsfunktion |x|: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von \lvert x\rvert ist \dfrac{x}{\lvert x\rvert}. Anschaulich gesagt: Rechts von 0 ist die Steigung 1, links von 0 ist sie -1, und genau bei 0 gibt es keine Steigung.

Graph von |x| und seiner Ableitung

Beweis, Abschnitt für Abschnitt

Zerlege \lvert x\rvert in seine zwei Abschnitte. Für x > 0 ist \lvert x\rvert = x, die Ableitung ist also 1. Für x < 0 ist \lvert x\rvert = -x, die Ableitung ist also -1. In beiden Fällen ist das Ergebnis gleich \frac{x}{\lvert x\rvert}: Teilst du eine Zahl durch ihren Betrag, bleibt nur ihr Vorzeichen übrig.

Warum es bei 0 keine Ableitung gibt

Sieh dir den Differenzenquotienten an der Stelle x = 0 an:

Von rechts (h > 0) ist das 1. Von links (h < 0) ist es -1. Die einseitigen Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert der Grenzwert nicht. Der Graph hat einen scharfen Knick, und keine einzelne Tangente passt dazu. Das ist das klassische Beispiel in der Lektion zur Differenzierbarkeit.

Man kann das Ergebnis auch als \frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}} schreiben, denn \lvert x\rvert = \sqrt{x^2}. Leitest du \sqrt{x^2} mit der Kettenregel ab, erhältst du \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}, also dieselbe Formel.

Mit der Kettenregel: Ableitung von |u|

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3, also 3 für x > 0 und -3 für x < 0.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}. Für \lvert x\rvert > 2 ist das 2x. Für \lvert x\rvert < 2 ist es -2x. Bei x = \pm 2 hat der Graph Knicke und keine Ableitung.

Beispiel 3. \frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}, nicht definiert überall dort, wo \sin x = 0 ist.

Eine differenzierbare Funktion aus |x|

Multiplizierst du mit x, wird der Knick geglättet. Nimm f(x) = x\lvert x\rvert. Für x > 0 ist das x^2, für x < 0 ist es -x^2, also gilt f'(x) = 2\lvert x\rvert. Bei 0 ist der Differenzenquotient \frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0, also existiert f'(0) = 0. Dieses f ist außerdem eine Stammfunktion von 2\lvert x\rvert, und so bestimmt man auch das Integral von |x|.

Typische Fehler

1. \lvert 1\rvert = 1 als Antwort. Die Ableitung ist nicht überall 1. Auf der linken Seite ist sie -1.
2. f'(0) = 0 behaupten. Der Knick hat keine Tangente, also existiert die Ableitung bei 0 nicht.
3. Glauben, dass stetig auch differenzierbar heißt. \lvert x\rvert ist bei 0 stetig, hat dort aber trotzdem keine Ableitung.

Zur Funktion selbst siehe die Seite zur Betragsfunktion.