Ableitung von x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von x ist 1. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und die Potenzregel sowie den Ableitungen von 5x, ax + b und x nach anderen Variablen.
Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 1 für jedes reelle x
- Vielfaches von x
- \dfrac{d}{dx}(ax) = a
- Lineare Funktion
- \dfrac{d}{dx}(ax + b) = a
- Mit der Potenzregel
- x = x^1, die Ableitung ist also 1 \cdot x^0 = 1
- Als Integral
- \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C
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Die Ableitung von x ist 1. Die Funktion y = x ist eine Gerade mit der Steigung 1, und die Ableitung einer Geraden ist einfach ihre Steigung.
Graph von x und seiner Ableitung
Weil sich die Steigung nie ändert, ist die Ableitung eine Konstante. Nimm zwei beliebige Punkte auf der Geraden: Der Höhenunterschied ist immer gleich dem waagerechten Abstand.
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Nach der Definition der Ableitung als Grenzwert gilt
Mit f(x) = x:
Das h kürzt sich weg, bevor du überhaupt den Grenzwert bildest, es gibt also nichts Kniffliges aufzulösen.
Beweis mit der Potenzregel
Schreibe x als x^1. Nach der Potenzregel holst du den Exponenten nach vorne und verringerst ihn um eins:
Dabei wird x^0 = 1 verwendet, was für jedes x \ne 0 stimmt, und der Beweis über den Grenzwert deckt auch x = 0 ab.
Vielfache und lineare Funktionen
Mit der Faktorregel und der Konstantenregel ist jede lineare Funktion leicht:
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| 5x | 5 |
| -x | -1 |
| \frac{x}{3} | \frac{1}{3} |
| 3x - 7 | 3 |
| \pi x + e | \pi |
Die Ableitung einer Geraden y = mx + b ist immer m, ihre Steigung. Der y-Achsenabschnitt b verschiebt die Gerade nur nach oben oder unten und ändert nichts an ihrer Steilheit. Warum b wegfällt, erklärt die Ableitung einer Konstanten.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Summe. Leite f(x) = x^2 + 4x - 9 ab:
Der Summand 4x liefert 4, der Summand -9 liefert 0. Für x^2 nimmst du die Ableitung von x².
Beispiel 2: eine Probe mit der Produktregel. Schreibe x^2 = x \cdot x und nutze die Produktregel:
Das stimmt mit der Potenzregel überein, eine gute Plausibilitätsprüfung.
Beispiel 3: eine andere Variable. Bei \frac{d}{dt}(xt), wobei x nicht von t abhängt, behandelst du x als Konstante: Das Ergebnis ist x.
Typische Fehler
- 0 als Antwort. Nur Konstanten haben die Ableitung 0. Die Funktion x ändert sich, ihre Ableitung ist also 1.
- x als Antwort. Die Ableitung von x ist nicht x. Das gilt für e^x, nicht für x.
- Den konstanten Summanden behalten. \frac{d}{dx}(3x + 7) = 3, nicht 3 + 7 oder 10.
Die umgekehrte Frage, \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C, beantwortet die Seite zum Integral von x. Zum Üben eignen sich die Aufgaben zur Potenzregel.
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