Das Integral jeder wichtigen Funktion

Integral einer Konstanten \int k\,dx = kx + C Das Integral einer Konstanten k ist kx + C, das Integral von 1 ist x + C. Mit Begründung, Flächenbild, bestimmten Integralen und typischen Fehlern. Integral von x \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C Das Integral von x ist x²/2 + C. Begründung mit der Potenzregel und einem Dreieck, dazu bestimmte Integrale, die lineare Form ax + b und typische Fehler. Integral von x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C Das Integral von x² ist x³/3 + C. Mit Potenzregel, Beweis über Riemann-Summen, bestimmten Integralen, der Form (ax + b)² und typischen Fehlern. Integral von √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C Das Integral von √x ist (2/3)x^(3/2) + C. Schreib die Wurzel als Potenz, mach die Probe und sieh dir Beispiele zu √(ax + b), 1/√x und bestimmten Integralen an. Integral von 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C Das Integral von 1/x ist ln|x| + C. Warum die Potenzregel hier versagt, woher der Betrag kommt und wie du 1/(ax + b) und f'/f integrierst. Integral von 1/x² \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C Das Integral von 1/x² ist -1/x + C. Schreib es als x^(-2), mach die Probe und sieh dir uneigentliche Integrale bis unendlich und die Falle von -1 bis 1 an. Integral von |x| \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C Das Integral von |x| ist x|x|/2 + C. Wie du bei null aufteilst, warum das Ergebnis nicht |x²/2| ist und wie du Integrale wie |x - 1| von 0 bis 4 berechnest. Integral von x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C Das Integral von x/(x² + 1) ist ½ ln(x² + 1) + C. Die Substitution Schritt für Schritt, warum kein Betrag nötig ist, und verwandte Integrale wie 1/(x² + 1). Integral von 1/(x² - 1) \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C Das Integral von 1/(x² - 1) ist ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt, die allgemeine Formel für 1/(x² - a²) und Beispiele.

Integral von sin x \int \sin x\,dx = -\cos x + C Das Integral von sin x ist -cos x + C. Woher das Minuszeichen kommt, die Fläche eines Sinusbogens, sin(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale. Integral von cos x \int \cos x\,dx = \sin x + C Das Integral von cos x ist sin x + C. Warum hier kein Minuszeichen auftaucht, die Fläche eines Bogens, cos(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale. Integral von tan x \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C Das Integral von tan x ist ln|sec x| + C bzw. -ln|cos x| + C. Die Substitution mit u = cos x, warum beide Formen gleich sind, und bestimmte Integrale. Integral von sec x \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C Das Integral von sec x (also 1/cos x) ist ln|sec x + tan x| + C. Der Trick mit der geschickten Eins, gleichwertige Formen, die Probe und Beispiele. Integral von csc x \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C Das Integral von csc x (1/sin x) ist -ln|csc x + cot x| + C, auch ln|csc x - cot x| oder ln|tan(x/2)|. Herleitung, warum die Formen gleich sind, Beispiele. Integral von cot x \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C Das Integral von cot x ist ln|sin x| + C. Die Substitution mit u = sin x, der Vergleich mit tan x sowie cot(ax), cot² x und Beispiele für bestimmte Integrale. Integral von sec² x \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C Das Integral von sec² x, also 1/cos² x, ist tan x + C. Herleitung über die Ableitung von tan x, die Form sec²(ax) und verwandte Integrale wie tan² x. Integral von sin² x \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C Das Integral von sin² x ist x/2 - sin(2x)/4 + C. Die Formel zur Potenzreduktion Schritt für Schritt, die Probe, sin²(ax) und bestimmte Integrale. Integral von cos² x \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C Das Integral von cos² x ist x/2 + sin(2x)/4 + C. Mit Formel zur Potenzreduktion, Probe, cos²(ax) und dem Flächeninhalt des Kreises. Integral von tan² x \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C Das Integral von tan² x ist tan x - x + C. Wie die Identität tan² x = sec² x - 1 die ganze Arbeit macht, dazu tan²(ax), tan³ x und bestimmte Integrale. Integral von sec³ x \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C Das Integral von sec³ x ist ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. Der Kreisschluss bei der partiellen Integration, die vollständige Probe und die Bogenlänge. Integral von sec x tan x \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C Das Integral von sec x tan x ist sec x + C. Warum es die Ableitung von sec x umkehrt, wie du es als sin x/cos² x erkennst, und Beispiele. Integral von sin 2x \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C Das Integral von sin 2x ist -cos(2x)/2 + C. Die Substitution, warum auch sin² x + C und -cos² x + C richtig sind, und Beispiele für bestimmte Integrale.

Integral von 1/(1+x²) \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C Das Integral von 1/(1+x²) ist arctan x + C. Begründung mit einer tan-Substitution, die Variante 1/(a²+x²), ein Graph und Rechenbeispiele. Integral von 1/√(1−x²) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C Das Integral von 1/√(1−x²) ist arcsin x + C. Die Sinus-Substitution, die Variante 1/√(a²−x²), ein Graph, bestimmte Integrale und Rechenbeispiele. Integral von √(1−x²) \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C Das Integral von √(1−x²) ist ½(x√(1−x²) + arcsin x) + C. Lerne die trigonometrische Substitution, den Bezug zur Kreisfläche und Rechenbeispiele. Integral von arctan x \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C Das Integral von arctan x ist x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe, bestimmte Integrale und Beispiele. Integral von arcsin x \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C Das Integral von arcsin x ist x arcsin x + √(1−x²) + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die arccos-Variante, ein Graph und Rechenbeispiele.

Integral von eˣ \int e^x\,dx = e^x + C Das Integral von eˣ ist eˣ + C. Warum eˣ seine eigene Stammfunktion ist, ein Graph der Fläche, bestimmte und uneigentliche Integrale und Rechenbeispiele. Integral von e²ˣ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C Das Integral von e^(2x) ist ½e^(2x) + C, allgemein gilt ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Mit Substitution, Graph und Rechenbeispielen. Integral von e⁻ˣ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C Das Integral von e^(−x) ist −e^(−x) + C. Die Substitution, warum die Fläche von 0 bis unendlich genau 1 ist, ein Graph und Beispiele wie x e^(−x). Integral von e^(x²) \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C e^(x²) und e^(−x²) haben keine elementare Stammfunktion. Lerne erf und erfi, die Lösung als Potenzreihe und warum ∫e^(−x²) über ℝ gleich √π ist. Integral von 2ˣ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C Das Integral von 2ˣ ist 2ˣ/ln 2 + C, und ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. Herleitung über e^(x ln a), ein Graph, bestimmte Integrale und Rechenbeispiele. Integral von ln x \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C Das Integral von ln x ist x ln x − x + C. Partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe, ein Graph und Beispiele wie ln(2x) und (ln x)². Integral von 1/(x ln x) \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C Das Integral von 1/(x ln x) ist ln|ln x| + C. Die Substitution u = ln x, warum das uneigentliche Integral divergiert, ein Graph und Rechenbeispiele.

Integral von x eˣ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C Das Integral von x eˣ ist (x − 1)eˣ + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, warum u = x die richtige Wahl ist, ein Graph und Beispiele wie x e^(2x). Integral von x ln x \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C Das Integral von x ln x ist (x²/2) ln x − x²/4 + C. Die partielle Integration mit u = ln x, die Probe, ein Graph und die Formel für xⁿ ln x. Integral von x sin x \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C Das Integral von x sin x ist sin x − x cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe durch Ableiten, ein Graph und Beispiele wie x² sin x. Integral von x cos x \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C Das Integral von x cos x ist x sin x + cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, Probe, Graph, bestimmte Integrale und Beispiele wie x² cos x. Integral von eˣ sin x \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C Das Integral von eˣ sin x ist ½eˣ(sin x − cos x) + C. Zweimal partiell integrieren und auflösen, die Probe, ein Graph und die Formel für e^(ax) sin(bx). Integral von x² eˣ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C Das Integral von x² eˣ ist (x² − 2x + 2)eˣ + C. Zweimal partielle Integration, das Tabellenverfahren, die Probe, ein Graph und das Muster für xⁿ eˣ.