Fläche zwischen Kurven: Oben minus unten, Schritt für Schritt

Du weißt, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet. Aber was ist mit der Fläche, die zwischen einer Parabel und einer Geraden eingeschlossen ist, oder zwischen \sin x und \cos x? Die Idee ist einfach (unten von oben abziehen), die eigentliche Arbeit besteht darin, die Schnittpunkte der Kurven zu finden und den Überblick zu behalten, welche oben liegt.

Die Formel für die Fläche zwischen zwei Kurven

Gilt f(x) \ge g(x) auf [a, b], so ist der Inhalt der Fläche zwischen ihnen

In Worten: oben minus unten, integriert von links nach rechts.

Warum funktioniert das? Zerlege die Fläche in dünne senkrechte Streifen. Jeder Streifen hat die Breite dx und eine Höhe, die dem Abstand zwischen den Kurven entspricht, f(x) - g(x). Alle Streifen aufzusummieren ist genau das, was das Integral tut. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Kurven über oder unter der x-Achse liegen: Der Abstand bleibt der Abstand.

Die Fläche zwischen Kurven in 5 Schritten

1. Skizziere die Kurven, auch wenn es nur grob ist.
2. Bestimme die Schnittpunkte, indem du die beiden Funktionen gleichsetzt und löst. Das sind meist deine Grenzen.
3. Entscheide, welche Kurve oben liegt, mit einem Testpunkt zwischen den Schnittpunkten.
4. Stelle \int_a^b (\text{oben} - \text{unten})\,dx auf.
5. Integriere und werte mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aus.

Rechenbeispiel 1: eine Gerade und eine Parabel

Bestimme die Fläche zwischen y = x und y = x^2.

Schritt 1. Schnittpunkte. Setze x = x^2, also x^2 - x = 0, x(x - 1) = 0, und du erhältst x = 0 und x = 1.

Schritt 2. Welche liegt oben? Teste x = \frac{1}{2}: Die Gerade liefert 0.5, die Parabel 0.25. Die Gerade liegt oben.

Schritt 3. Aufstellen und integrieren.

Rechenbeispiel 2: eine nach unten geöffnete Parabel und eine Gerade

Bestimme den Inhalt der Fläche, die von y = 4 - x^2 und y = x + 2 eingeschlossen wird.

Schritt 1. Schnittpunkte. Setze 4 - x^2 = x + 2:

Schritt 2. Welche liegt oben? Teste x = 0: Die Parabel liefert 4, die Gerade 2. Die Parabel liegt oben.

Schritt 3. Aufstellen. Oben minus unten lässt sich zuerst vereinfachen:

Schritt 4. Integrieren.

Bei x = 1: 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}.

Bei x = -2: -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}.

Der Graph unten zeigt dieselbe Idee aus einem anderen Blickwinkel. Die Fläche zwischen zwei Kurven ist gleich der Fläche unter ihrer Differenz f(x) - g(x), hier also unter der Parabel y = 2 - x - x^2.

Rechenbeispiel 3: Kurven, die sich schneiden

Bestimme die Fläche zwischen y = \sin x und y = \cos x von x = 0 bis x = \frac{\pi}{2}.

Schritt 1. Schnittpunkte. \sin x = \cos x gilt, wenn \tan x = 1 ist, in diesem Intervall also bei x = \frac{\pi}{4}. Die Kurven schneiden sich innerhalb des Intervalls.

Schritt 2. Welche liegt oben, Stück für Stück?

• Auf [0, \frac{\pi}{4}]: Bei x = 0 ist \cos 0 = 1 > \sin 0 = 0. Der Kosinus liegt oben.
• Auf [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]: Bei x = \frac{\pi}{2} ist \sin = 1 > \cos = 0. Der Sinus liegt oben.

Schritt 3. Aufteilen und integrieren.

Schritt 4. Addieren.

Hättest du \cos x - \sin x ohne Aufteilen über das ganze Intervall integriert, würden sich die beiden Teilstücke aufheben und du würdest 0 erhalten, was offensichtlich nicht die Fläche ist.

Tipp: Kompakt lässt sich das als A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx schreiben. Der Betrag erinnert dich daran, an jedem Schnittpunkt der Kurven aufzuteilen.

Integration nach y

Manche Flächen lassen sich schlecht senkrecht zerlegen. Wird die Fläche links und rechts von Kurven der Form x = h(y) begrenzt, zerlegst du sie stattdessen waagerecht:

wobei c und d y-Werte sind.

Rechenbeispiel 4: eine liegende Parabel und eine Gerade

Bestimme die Fläche zwischen x = y^2 und y = x - 2.

Schritt 1. Schreib beide Kurven als x in Abhängigkeit von y. Die Parabel ist x = y^2 und die Gerade ist x = y + 2.

Schritt 2. Schnittpunkte. y^2 = y + 2 ergibt y^2 - y - 2 = 0, also (y - 2)(y + 1) = 0 und y = -1 oder y = 2.

Schritt 3. Welche liegt rechts? Teste y = 0: Die Gerade liefert x = 2, die Parabel x = 0. Die Gerade liegt rechts.

Schritt 4. Integrieren.

Bei y = 2: 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}. Bei y = -1: \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.

Nach x wechselt die untere Begrenzung bei x = 1 (von -\sqrt{x} zur Geraden), du bräuchtest also zwei Integrale: \int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}. Dieselbe Antwort, doppelte Arbeit.

Kurzübersicht: dx oder dy?

Typische Fehler bei der Fläche zwischen Kurven

1. Unten minus oben. Du erhältst den richtigen Betrag mit dem falschen Vorzeichen. Kommt eine Fläche negativ heraus, prüfst du das als Erstes.
2. Nicht an Schnittpunkten aufteilen. Teilstücke heben sich auf, und die Antwort ist zu klein, manchmal sogar null.
3. x-Grenzen in einem dy-Integral verwenden. Bei der Integration nach y müssen die Grenzen die y-Werte der Schnittpunkte sein.
4. Beim Vereinfachen ein Vorzeichen verlieren. (4 - x^2) - (x + 2) ist 2 - x - x^2. Das Minuszeichen gilt für jeden Summanden der unteren Kurve.
5. Die Grenzen raten. Die Grenzen ergeben sich aus f(x) = g(x), nicht daraus, wo die Kurven die Achse treffen, es sei denn, die Aufgabe verlangt das.

Flächen zwischen Kurven üben

Diese Aufgaben folgen jedes Mal denselben fünf Schritten, und der schwierige Teil ist meist die Algebra beim Bestimmen der Schnittpunkte. Durch Übung gewöhnst du dir an, zuerst zu skizzieren. Die interaktive Lektion unten prüft jeden Ansatz und jede Antwort sofort, sodass du lernst, vertauschte obere und untere Kurven zu erkennen, bevor es dich Punkte kostet. Als Nächstes liefert dieselbe Zerlegungsidee Rotationsvolumen.