Rotationsvolumen: Scheiben-, Ring- und Schalenmethode

Dreh eine ebene Fläche um eine Gerade, und sie überstreicht einen räumlichen Körper: eine Vase, eine Schüssel, eine Perle. Sein Volumen zu bestimmen klingt schwer, aber wenn du ihn richtig schneidest, ist jede Scheibe eine einfache Form (eine Kreisscheibe, ein Kreisring oder ein dünner Zylindermantel), und das Integral addiert sie. Das Schwierige ist, die richtige Schnittrichtung zu wählen und den Radius richtig zu bestimmen.

Was ist ein Rotationsvolumen?

Ein Rotationskörper ist die räumliche Form, die entsteht, wenn du eine ebene Fläche um eine Gerade dreht, die Rotationsachse. Sein Volumen findest du, indem du ihn in dünne Scheiben mit bekanntem Volumen zerlegst und dann integrierst.

Es gibt drei Standardmethoden:

Die Scheibenmethode

Dreh die Fläche unter y = f(x) von a bis b um die x-Achse. Ein senkrechter Streifen der Dicke dx wird zu einer dünnen Münze mit Radius R(x) = f(x) und Volumen \pi R^2\,dx. Addierst du die Münzen, erhältst du:

Rechenbeispiel 1: y = √x um die x-Achse drehen

Bestimme das Volumen, wenn die Fläche unter y = \sqrt{x} von x = 0 bis x = 4 um die x-Achse rotiert.

Schritt 1. Radius. Die Fläche berührt die Achse, die Schnitte sind also Kreisscheiben mit R(x) = \sqrt{x}.

Schritt 2. Ansatz.

Schritt 3. Integrieren.

Tipp: Eine schnelle Plausibilitätsprüfung für die Scheibenmethode ist ein Kegel. Die Rotation von y = \frac{r}{h}x von 0 bis h ergibt \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h, die bekannte Kegelformel.

Die Ringmethode

Gibt es eine Lücke zwischen Fläche und Achse, hat jeder Schnitt ein Loch in der Mitte. Mit Außenradius R(x) und Innenradius r(x) gilt:

Rechenbeispiel 2: die Fläche zwischen y = x und y = x²

Dreh die Fläche zwischen y = x und y = x^2 um die x-Achse.

Schritt 1. Grenzen. x = x^2 ergibt x = 0 und x = 1 (siehe Fläche zwischen Kurven).

Schritt 2. Radien. Auf [0, 1] gilt x \ge x^2, die Gerade ist also weiter von der Achse entfernt. R(x) = x und r(x) = x^2.

Schritt 3. Ansatz und Integration.

Rechenbeispiel 3: Rotation um die Gerade y = 2

Dreh dieselbe Fläche um die waagerechte Gerade y = 2.

Schritt 1. Radien als Abstände. Jeder Punkt der Fläche liegt unterhalb von y = 2, der Abstand einer Kurve von der Achse ist also 2 - y. Die Parabel y = x^2 liegt tiefer und ist deshalb weiter von y = 2 entfernt:

Schritt 2. Ausmultiplizieren.

Schritt 3. Integrieren.

Beachte, dass innere und äußere Kurve im Vergleich zu Beispiel 2 die Rollen getauscht haben. Miss immer von der Achse aus.

Die Schalenmethode

Jetzt schneidest du parallel zur Achse. Dreht sich ein dünner senkrechter Streifen um die y-Achse, entsteht ein Hohlzylinder (eine Schale). Aufgerollt ist eine Schale fast ein flaches Blatt mit der Länge 2\pi(\text{Radius}), der Höhe h(x) und der Dicke dx. Für die Rotation um die y-Achse gilt also:

wobei x der Radius der Schale und h(x) die Höhe des Streifens ist (oben minus unten).

Rechenbeispiel 4: dieselbe Fläche, um die y-Achse

Dreh die Fläche zwischen y = x und y = x^2 um die y-Achse.

Schritt 1. Radius und Höhe. Ein senkrechter Streifen bei x hat den Abstand x von der y-Achse. Seine Höhe ist x - x^2.

Schritt 2. Ansatz und Integration.

Kontrolle mit Ringen. Schneidest du waagerecht, löst du jede Kurve nach x auf: Der Außenradius ist x = \sqrt{y} und der Innenradius x = y, für 0 \le y \le 1:

Beide Methoden stimmen überein.

Rechenbeispiel 5: wo nur Schalen bequem sind

Dreh die Fläche unter y = 2x^2 - x^3 von x = 0 bis x = 2 um die y-Achse.

Für Ringe bräuchtest du x als Funktion von y, müsstest also eine kubische Gleichung lösen. Schalen vermeiden das vollständig.

Schritt 1. Radius und Höhe. Radius x, Höhe 2x^2 - x^3.

Schritt 2. Ansatz.

Schritt 3. Integrieren.

Scheibe, Ring oder Schale: So wählst du

Stell zwei Fragen: Um welche Achse, und nach welcher Variablen sind die Kurven aufgelöst?

Das Muster: Scheiben und Ringe schneiden senkrecht zur Achse, Schalen parallel dazu. Nimm die Methode, mit der du nach der Variablen integrieren kannst, nach der die Kurven schon aufgelöst sind. Bei Schalen um x = h wird der Radius zu |h - x| statt x.

Typische Fehler beim Rotationsvolumen

1. (R - r)^2 statt R^2 - r^2 schreiben. Quadriere jeden Radius einzeln und subtrahiere dann.
2. \pi (oder 2\pi) vergessen. Scheiben und Ringe verwenden \pi, Schalen 2\pi.
3. Den Radius vom falschen Ort aus messen. Der Radius ist der Abstand zur Rotationsachse, nicht zur x-Achse. Für y = 2 ist der Radius von y = x^2 gleich 2 - x^2.
4. Innen- und Außenradius vertauschen. Der Außenradius gehört zur Kurve, die weiter von der Achse entfernt ist, und das ist nicht immer die obere Kurve.
5. Variablen vermischen. Ein Integral nach dy braucht Radien und Grenzen in y.

Übe Volumen, bis der Ansatz automatisch sitzt

Die Integrale in diesen Aufgaben sind meist einfach. Die Punkte stecken im Ansatz: die richtige Schnittrichtung, der richtige Radius, die richtigen Grenzen. Die interaktive Lektion unten trainiert genau das, mit sofortiger Rückmeldung zu jedem Radius und jedem Integral, damit ein vertauschter Innenradius in dem Moment auffällt, in dem er passiert.