Stetigkeit: Definition, Unstetigkeitsstellen und Zwischenwertsatz

Anschaulich ist eine stetige Funktion eine, deren Graphen du zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen. Dieses Bild ist ein guter Anfang, aber in Prüfungen sollst du Stetigkeit beweisen, den Wert von k finden, der eine Funktion stetig macht, oder eine Unstetigkeitsstelle ihrem Typ zuordnen. Dafür brauchst du die genaue Definition, und die besteht aus nur drei kurzen Prüfungen.

Die Definition der Stetigkeit: drei Bedingungen

Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x = a, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind:

1. f(a) ist definiert.
2. \lim_{x \to a} f(x) existiert (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert stimmen überein).
3. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert:

In einfachen Worten: Der Graph steuert bei Annäherung an a auf eine bestimmte Höhe zu, und der Punkt bei a liegt genau auf dieser Höhe.

Eine Funktion ist stetig auf einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist (mit einseitigen Grenzwerten an abgeschlossenen Rändern). Eine Funktion heißt einfach stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.

Welche Funktionen sind stetig?

Die gute Nachricht: Fast jede Funktion, die du kennst, ist überall dort stetig, wo sie definiert ist:

• Polynome, überall
• gebrochenrationale Funktionen, überall außer dort, wo der Nenner 0 ist
• \sqrt{x} für x \ge 0 und andere Wurzeln auf ihrem Definitionsbereich
• \sin x und \cos x überall; \tan x außer an ungeraden Vielfachen von \frac{\pi}{2}
• e^x überall und \ln x für x > 0

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (wenn der Nenner nicht 0 ist) und Verkettungen stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig. In der Praxis gibt es Unstetigkeitsstellen daher nur an wenigen Orten: an Nullstellen von Nennern, an Nahtstellen abschnittsweise definierter Funktionen und an den Rändern von Definitionsbereichen.

Arten von Unstetigkeitsstellen

Ist eine der drei Bedingungen verletzt, verrät die Art, wie sie verletzt ist, den Typ der Unstetigkeit.

Hebbare Unstetigkeiten sind die einzigen, die du durch Ändern eines einzigen Punktes beheben kannst. Die anderen heißen nicht hebbar (in manchen Büchern auch wesentlich).

Hebbare Lücke und Polstelle in einem Graphen

Betrachte

Faktorisiere Zähler und Nenner:

Der Nenner ist bei x = 2 und bei x = -1 gleich 0, also ist f an beiden Stellen unstetig. Es sind aber verschiedene Typen.

• Bei x = 2 kürzt sich der Faktor (x - 2). Für x \neq 2 gilt f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}, also \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}. Der Grenzwert existiert, f(2) aber nicht: eine hebbare Unstetigkeit, eine Lücke bei \left(2, \frac{4}{3}\right).
• Bei x = -1 bleibt der Faktor (x + 1) im Nenner, während der Zähler x + 2 gegen 1 geht, also gegen einen Wert ungleich null. Die Funktion wächst über alle Grenzen: eine Polstelle, mit der senkrechten Asymptote x = -1.

Tipp: Faktorisiere eine gebrochenrationale Funktion vollständig. Faktoren, die sich kürzen, ergeben Lücken. Faktoren, die im Nenner übrig bleiben, ergeben senkrechte Asymptoten.

Sprungstellen

Sprünge entstehen bei abschnittsweise definierten Funktionen (und bei Ausdrücken wie \frac{|x|}{x}). Hier ist ein Beispiel:

Der linksseitige Grenzwert bei 1 ist 1^2 = 1, der rechtsseitige ist 1 + 2 = 3. Beide existieren, stimmen aber nicht überein, also springt der Graph von der Höhe 1 auf die Höhe 3.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: alle drei Bedingungen prüfen

Ist h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases} an der Stelle x = 3 stetig?

Schritt 1. Ist h(3) definiert? Ja, h(3) = 5.

Schritt 2. Existiert der Grenzwert? Für x \neq 3 ist \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3, also \lim_{x \to 3} h(x) = 6.

Schritt 3. Sind beide gleich? 6 \neq 5. Bedingung 3 ist verletzt.

Ergebnis. h hat bei x = 3 eine hebbare Unstetigkeit. Würde man h(3) = 6 neu definieren, wäre die Funktion stetig.

Beispiel 2: k bestimmen, damit eine abschnittsweise definierte Funktion stetig ist

Bestimme k so, dass f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases} überall stetig ist.

Schritt 1. Die einzige kritische Stelle finden. Jeder Abschnitt ist ein Polynom, also kann es nur an der Nahtstelle x = 2 Probleme geben.

Schritt 2. Beide Seiten berechnen. Links: \lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1. Rechts: \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4. Funktionswert: f(2) = 4.

Schritt 3. Gleichsetzen und lösen.

Probe. Mit k = \frac{3}{2} liefert der linke Abschnitt \frac{3}{2}(2) + 1 = 4. Beide Seiten treffen sich auf der Höhe 4.

Beispiel 3: eine Unstetigkeitsstelle einordnen

Ordne die Unstetigkeitsstellen von p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25} bei x = 5 und bei x = -5 ein.

Schritt 1. Faktorisieren. p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}.

Schritt 2. Bei x = -5: Der Faktor (x + 5) kürzt sich, übrig bleibt \frac{1}{x - 5}, das gegen -\frac{1}{10} geht. Hebbar (eine Lücke bei \left(-5, -\frac{1}{10}\right)).

Schritt 3. Bei x = 5: Nach dem Kürzen steht in \frac{1}{x - 5} immer noch x - 5 im Nenner, und der Zähler ist 1 \neq 0. Eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote x = 5.

Der Zwischenwertsatz

Stetigkeit hat eine starke Folgerung. Wenn du ohne Unterbrechung von einer Höhe zu einer anderen gehst, musst du jede Höhe dazwischen passieren.

Zwischenwertsatz. Ist f auf [a, b] stetig und ist N irgendeine Zahl zwischen f(a) und f(b), dann gibt es mindestens eine Zahl c in (a, b) mit

Am häufigsten wird er mit N = 0 genutzt, um zu zeigen, dass eine Gleichung eine Lösung hat: Wechselt eine stetige Funktion auf einem Intervall das Vorzeichen, hat sie dort eine Nullstelle.

Beispiel 4: die Existenz einer Nullstelle beweisen

Zeige, dass x^3 + x - 1 = 0 eine Lösung zwischen 0 und 1 hat.

Schritt 1. Stetigkeit prüfen. f(x) = x^3 + x - 1 ist ein Polynom, also auf [0, 1] stetig.

Schritt 2. Die Randwerte berechnen. f(0) = -1 und f(1) = 1 + 1 - 1 = 1.

Schritt 3. Den Zwischenwertsatz anwenden. 0 liegt zwischen -1 und 1, also gibt es ein c in (0, 1) mit f(c) = 0.

Der Zwischenwertsatz sagt dir, dass eine Nullstelle existiert, nicht wo sie liegt. (Hier liegt sie bei etwa 0.68.) Beachte, dass er Stetigkeit voraussetzt: \frac{1}{x} ist bei x = -1 negativ und bei x = 1 positiv, wird aber nie 0, weil die Funktion auf [-1, 1] nicht stetig ist.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Stetigkeit ist die Mindestvoraussetzung dafür, dass eine Funktion eine Ableitung hat. Ist f an der Stelle a differenzierbar, muss die Funktion bei a auch stetig sein. Ein Graph mit einer Lücke, einem Sprung oder einer Asymptote kann dort keine Tangente haben.

Die Umkehrung gilt nicht. Eine stetige Funktion kann an einer Stelle trotzdem nicht differenzierbar sein:

• Ein Knick. |x| ist bei 0 stetig, aber die Steigung ist links -1 und rechts 1, es gibt also keine eindeutige Tangentensteigung.
• Eine senkrechte Tangente. \sqrt[3]{x} ist bei 0 stetig, aber die Tangente dort ist senkrecht, mit nicht definierter Steigung.
• Eine Spitze. x^{2/3} ist bei 0 stetig, läuft dort aber spitz zu.

Wenn du also Ableitungen lernst, denk an die Richtung der Folgerung: Differenzierbar impliziert stetig, aber stetig impliziert nicht differenzierbar.

Typische Fehler bei der Stetigkeit

1. Nur den Grenzwert prüfen. Ein Grenzwert kann existieren, während der Funktionswert fehlt oder abweicht. Du musst alle drei Bedingungen nachweisen.
2. Jede Nullstelle des Nenners für eine Asymptote halten. Zuerst faktorisieren. Ein Faktor, der sich kürzt, ergibt eine Lücke, keine Asymptote.
3. Bei einer abschnittsweise definierten Funktion nur eine Seite abgleichen. Vergleiche an der Nahtstelle den linksseitigen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert und den Funktionswert.
4. Den Zwischenwertsatz ohne Stetigkeit anwenden. Über Funktionen mit Sprüngen oder Asymptoten im Intervall sagt der Satz nichts aus.
5. Erwarten, dass der Zwischenwertsatz den Wert von c liefert. Er garantiert nur, dass c existiert.

Unstetigkeitsstellen erkennen üben

Unstetigkeitsstellen einordnen und nach k auflösen gehören zu den häufigsten Prüfungsfragen zu Grenzwerten, und beides folgt einem festen Rezept. Die interaktive Lektion unten gibt dir Graphen und Formeln zum Analysieren, prüft jede Bedingung, die du behauptest, sofort und erklärt jeden Schritt, den du übersiehst. Stetigkeit bereitet dich außerdem auf die nächste große Idee vor, die Ableitung, denn jede differenzierbare Funktion ist stetig.