Abrundungsfunktion (Gaußklammer) und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion \lfloor x\rfloor rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl ab, die Aufrundungsfunktion \lceil x\rceil rundet sie auf. Ihre Graphen sehen aus wie Treppen und sind damit die klassischen Beispiele für abschnittsweise definierte Funktionen mit Sprungstellen. Die Abrundungsfunktion heißt auch Gaußklammer und wird manchmal als [x] oder \operatorname{int}(x) geschrieben.

Definitionen

Achtung bei negativen Zahlen: -2.7 abzurunden führt zu -3, nicht zu -2.

Graph der Abrundungsfunktion

Graph der Aufrundungsfunktion

Wichtige Eigenschaften

• Wertebereich. Beide Funktionen liefern nur ganze Zahlen.
• Schranken. x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1.
• Ganze Zahlen bleiben fest. \lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n für jede ganze Zahl n.
• Verschieben um eine ganze Zahl. \lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n für jede ganze Zahl n.
• Abrunden und Aufrunden hängen zusammen. \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor, und für nicht ganzes x gilt \lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1.

Grenzwerte und Stetigkeit

Zwischen den ganzen Zahlen ist die Abrundungsfunktion konstant und damit dort stetig. An einer ganzen Zahl n stimmen die einseitigen Grenzwerte nicht überein:

Also existiert \lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor nicht, und es gibt einen Sprung der Höhe 1. Da der rechtsseitige Grenzwert gleich \lfloor n\rfloor ist, ist die Abrundungsfunktion rechtsseitig stetig. Bei der Aufrundungsfunktion ist es umgekehrt: \lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n und \lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1, sie ist also linksseitig stetig. Die formalen Definitionen findest du im Leitfaden zur Stetigkeit.

Beispiel: ein Grenzwert im Unendlichen. Bestimme \lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}. Für x > 0 liefert die Division von x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x durch x die Ungleichung 1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1. Beide Schranken streben gegen 1, nach dem Sandwich-Satz ist der Grenzwert also 1.

Ableitung der Abrundungsfunktion

Auf jedem offenen Intervall (n, n+1) ist die Funktion die Konstante n, deren Ableitung 0 ist. An einer ganzen Zahl ist die Funktion nicht stetig und damit nicht differenzierbar. Dasselbe gilt für die Aufrundungsfunktion.

Integral der Abrundungsfunktion

Jedes Einheitsintervall [k, k+1] liefert ein Rechteck der Höhe k und der Breite 1. Man addiert also Rechteckflächen, ganz ähnlich wie bei einer Riemann-Summe, die hier zufällig exakt ist. Für x \ge 0 gilt:

Dieselbe Formel gilt auch für negative x.

Beispiel. \int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5. Die Formel bestätigt das: 3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5.

Beispiel mit Aufrundungsfunktion. \int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6, denn \lceil t\rceil ist gleich 1 auf (0, 1], 2 auf (1, 2] und 3 auf (2, 3]. Einzelne Punkte verändern ein Integral nicht.

Häufige Fehler

1. Negative Zahlen in Richtung null runden. \lfloor -1.2\rfloor = -2, nicht -1.
2. Behaupten, der Grenzwert an einer ganzen Zahl existiere. Links- und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden sich um 1.
3. Den ausgefüllten Punkt an das falsche Ende setzen. Die Stufen der Abrundungsfunktion sind links abgeschlossen, die der Aufrundungsfunktion rechts.
4. An einer Sprungstelle ableiten. Die Ableitung ist nur zwischen den ganzen Zahlen 0. An den ganzen Zahlen existiert sie nicht.

Wo sie vorkommen

Treppenfunktionen beschreiben alles, was in ganzen Einheiten abgerechnet wird: Porto nach Gewichtsstufen, Parkgebühren pro angefangener Stunde oder Steuerstufen. In der Analysis sind sie die Standardbeispiele für einseitige Grenzwerte und für Funktionen, die integrierbar, aber nicht stetig sind. Die allgemeine Vorgehensweise findest du bei den abschnittsweise definierten Funktionen; vergleiche außerdem mit dem Knick der Betragsfunktion.