Riemann-Summen: Linke, rechte und Mittelpunktsregel mit Beispielen

Die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen ist einfach. Die Fläche unter einer Kurve wie y = x^2 zu bestimmen ist es nicht, weil der obere Rand gekrümmt ist. Riemann-Summen lösen das, indem sie die Fläche mit schmalen Rechtecken füllen und diese addieren, und auf dieser Idee baut das gesamte bestimmte Integral auf.

Was ist eine Riemann-Summe?

Eine Riemann-Summe ist eine Schätzung der Fläche unter y = f(x) auf einem Intervall [a, b] mithilfe von Rechtecken:

1. Zerlege [a, b] in n gleich große Teile, jeder mit der Breite

2. Wähle in jedem Teil eine Stützstelle x_i^* und nimm f(x_i^*) als Höhe des Rechtecks.
3. Addiere die Flächen, Höhe mal Breite:

Die einzige Entscheidung, die du triffst, ist, wo in jedem Teil du die Höhe abliest. Daraus ergeben sich die drei Standardregeln.

Linke, rechte und Mittelpunkts-Riemann-Summen

Mit x_0 = a, x_1 = a + \Delta x, x_2 = a + 2\Delta x und so weiter bis x_n = b:

Beachte, dass die linke Summe jeden Punkt außer dem letzten verwendet und die rechte Summe jeden Punkt außer dem ersten.

Rechenbeispiel 1: Fläche unter y = x² von 0 bis 2

Schätze \int_0^2 x^2\,dx mit n = 4 über linke, rechte und Mittelpunktssumme.

Schritt 1. Breite. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5. Die Teilungspunkte sind 0, 0.5, 1, 1.5, 2.

Schritt 2. Linke Summe. Höhen bei 0, 0.5, 1, 1.5:

Schritt 3. Rechte Summe. Höhen bei 0.5, 1, 1.5, 2:

Schritt 4. Mittelpunktssumme. Mittelpunkte 0.25, 0.75, 1.25, 1.75:

Die exakte Fläche (die wir unten bestätigen) ist \frac{8}{3} \approx 2.667. Die linke Summe ist viel zu klein, die rechte viel zu groß, und die Mittelpunktssumme weicht nur um 0.04 ab.

Über- oder Unterschätzung?

Bei einer steigenden Funktion wie x^2 auf [0, 2] ist der linke Rand jedes Teilstücks der tiefste Punkt, also liegt jedes linke Rechteck unter der Kurve: Linke Summen unterschätzen (sie sind hier Untersummen). Der rechte Rand ist der höchste Punkt, also überschätzen rechte Summen (sie sind hier Obersummen). Bei einer fallenden Funktion ist es umgekehrt.

Bei der Mittelpunktsregel kommt es dagegen auf die Krümmung an. Bei einer linksgekrümmten Kurve wie x^2 unterschätzt die Mittelpunktssumme (nur leicht), bei einer rechtsgekrümmten Kurve überschätzt sie.

Der Mittelwert aus linker und rechter Summe ergibt die Trapezregel: \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75. Bei einer linksgekrümmten Kurve überschätzt die Trapezregel, der wahre Wert liegt also zwischen Mittelpunkts- und Trapezschätzung: 2.625 < \frac{8}{3} < 2.75.

Rechenbeispiel 2: eine fallende Funktion

Schätze \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx mit n = 4 nach allen drei Regeln.

Schritt 1. Breite. \Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5. Teilungspunkte: 1, 1.5, 2, 2.5, 3.

Schritt 2. Linke Summe. Höhen f(1) = 1, f(1.5) \approx 0.6667, f(2) = 0.5, f(2.5) = 0.4:

Schritt 3. Rechte Summe. Höhen bei 1.5, 2, 2.5, 3:

Schritt 4. Mittelpunktssumme. Die Mittelpunkte 1.25, 1.75, 2.25, 2.75 liefern die Höhen 0.8, 0.5714, 0.4444, 0.3636:

Der exakte Wert ist \ln 3 \approx 1.0986. Diesmal ist die Funktion fallend, die linke Summe ist also zu groß und die rechte zu klein: genau umgekehrt wie in Beispiel 1. Die Kurve ist linksgekrümmt, deshalb ist die Mittelpunktssumme wieder etwas zu klein.

Rechenbeispiel 3: Riemann-Summen aus einer Tabelle

Die Geschwindigkeit eines Autos wird jede Sekunde gemessen:

Schätze die zurückgelegte Strecke von t = 0 bis t = 4.

Die Strecke ist die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve, und \Delta t = 1.

Linke Summe: 1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20 m.

Rechte Summe: 1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30 m.

In der Tabelle steigt die Geschwindigkeit nur an, also liegt die wahre Strecke (sofern sie auch zwischen den Messungen steigt) zwischen 20 und 30 Metern. Eine Mittelpunktssumme mit n = 4 ist hier nicht möglich, weil die Tabelle keine Werte bei t = 0.5, 1.5, \ldots enthält. Mit n = 2 geht es: Die Mittelpunkte t = 1 und t = 3 liefern 2 \cdot (4 + 9) = 26 m.

Riemann-Summen mit dem Summenzeichen schreiben

Für eine rechte Summe auf [a, b] mit n Teilen sind die Stützstellen x_i = a + i\,\Delta x, also

Für linke Summen ersetzt du i durch i - 1, für Mittelpunkte durch i - \frac{1}{2}.

Rechenbeispiel 4: die exakte Fläche als Grenzwert

Bestimme \int_0^2 x^2\,dx als Grenzwert rechter Summen.

Schritt 1. Ansatz. \Delta x = \frac{2}{n} und x_i = \frac{2i}{n}, also f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}.

Schritt 2. Summe aufschreiben.

Schritt 3. Die Formel für die Summe der Quadratzahlen verwenden \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}:

Schritt 4. Grenzwert bilden. Für n \to \infty gehen beide Terme \frac{1}{n} gegen 0:

Die exakte Fläche ist also \frac{8}{3}. Mit n = 4 liefert die Formel \frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75, passend zu Rechenbeispiel 1.

Von Riemann-Summen zum bestimmten Integral

Die Rechnung oben ist genau die Definition des bestimmten Integrals:

Selbst die Schreibweise spiegelt die Summe wider: \int ist ein langgezogenes "S" für Summe, f(x) ist die Höhe und dx die unendlich schmale Breite. Wo f negativ ist, haben die Rechtecke eine negative Höhe, das Integral misst also eine orientierte Fläche: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche darunter negativ.

Jedes Mal einen Grenzwert von Summen zu berechnen wäre mühsam. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, dass du das überspringen kannst: \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}, mithilfe von Stammfunktionen. Riemann-Summen brauchst du trotzdem, um Integrale aus Messdaten oder von Funktionen ohne einfache Stammfunktion anzunähern.

Typische Fehler bei Riemann-Summen

1. n + 1 Höhen verwenden. Bei n = 4 gibt es 5 Teilungspunkte, aber nur 4 Rechtecke. Die linke Summe lässt den letzten Punkt weg, die rechte den ersten.
2. Vergessen, mit \Delta x zu multiplizieren. Die Summe der Höhen in Beispiel 1 ist 7.5, nicht die Fläche 3.75.
3. Falsche Mittelpunkte. Der Mittelpunkt von [1, 1.5] ist 1.25. Berechne f(1.25), nicht den Mittelwert von f(1) und f(1.5) (das wäre die Trapezregel).
4. Ungleiche Breiten in einer Tabelle. Sind die Daten nicht gleichmäßig verteilt, braucht jedes Rechteck seine eigene Breite. Verwende dann kein einheitliches \Delta x.
5. Über- und Unterschätzung verwechseln. Steigen oder Fallen entscheidet über linke und rechte Summen, die Krümmung über Mittelpunkts- und Trapezregel.

Üben mit Rechtecken

Riemann-Summen belohnen eine feste Routine: \Delta x bestimmen, Stützstellen auflisten, auswerten, addieren, multiplizieren. In der interaktiven Lektion unten baust du linke, rechte und Mittelpunktssummen mit sofortiger Rückmeldung, damit du genau siehst, welche Höhe oder Breite falsch war, und es beim nächsten Versuch richtig machst.