Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Lücken, Ableitung
Gebrochenrationale Funktionen P(x)/Q(x): Definitionsbereich, senkrechte und waagerechte Asymptoten, Lücken, Quotientenregel und Partialbruchzerlegung.
Algebraische Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich
- Alle x mit Q(x) \ne 0
- Ableitung
- \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}
- Integral
- \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C
- Senkrechte Asymptoten
- Nullstellen von Q, die sich nicht kürzen lassen
- Waagerechte Asymptote
- Grade von P und Q vergleichen
- Integrationsmethode
- Polynomdivision, dann Partialbruchzerlegung
Auf dieser Seite
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Polynom geteilt durch ein anderes. Sie ist überall definiert, außer dort, wo der Nenner null ist, und gerade das Verhalten in der Nähe dieser Stellen, Asymptoten und Lücken, macht sie so wichtig für Grenzwerte, Kurvendiskussion und Integration.
Definition und Formel
P und Q sind Polynome, und Q ist nicht das Nullpolynom. Das einfachste Beispiel ist die Kehrwertfunktion \frac{1}{x}. Weitere Beispiele sind \frac{2x + 1}{x - 1} und \frac{x^2 - 4}{x - 2}.
Graph einer gebrochenrationalen Funktion
Asymptoten und Lücken
Faktorisiere zuerst P und Q vollständig.
- Lücke. Ein Faktor (x - a), der sich aus Zähler und Nenner kürzen lässt, hinterlässt bei x = a eine hebbare Unstetigkeit. Beispiel: \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 für x \ne 2, eine Gerade mit einer Lücke bei (2, 4).
- Senkrechte Asymptote. Eine Nullstelle a des Nenners, die nach dem Kürzen übrig bleibt. In der Nähe von x = a strebt die Funktion gegen \pm\infty, die einseitigen Grenzwerte sind also unendlich.
- Waagerechte Asymptote. Aus den Grenzwerten im Unendlichen, mit \deg P = m und \deg Q = n:
| Grade | Verhalten für x \to \pm\infty |
|---|---|
| m < n | Asymptote y = 0 |
| m = n | Asymptote y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q} |
| m = n + 1 | schräge Asymptote aus der Polynomdivision |
| m > n + 1 | keine Asymptote in Form einer Geraden |
Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion
Verwende die Quotientenregel:
Die Ableitung ist wieder eine gebrochenrationale Funktion, und dieselben Stellen sind aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen.
Gebrochenrationale Funktionen integrieren
Es gibt keine einzelne Formel. Das Standardverfahren ist:
- Ist \deg P \ge \deg Q, führe eine Polynomdivision durch und erhalte ein Polynom plus einen echt gebrochenen Rest.
- Faktorisiere Q und zerlege den echt gebrochenen Rest mit der Partialbruchzerlegung.
- Integriere jeden Teil. Lineare Faktoren liefern Logarithmen, \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C; nicht zerlegbare quadratische Faktoren liefern Arkustangens-Terme.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Asymptoten. Bei f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} lässt sich nichts kürzen, also ist x = 1 eine senkrechte Asymptote. Die Grade sind gleich, also ist y = \frac{2}{1} = 2 die waagerechte Asymptote.
Beispiel 2: Ableitung. Mit P = 2x + 1 und Q = x - 1:
Die Ableitung ist immer negativ, also ist f auf beiden Seiten der Asymptote streng monoton fallend.
Beispiel 3: ein Grenzwert an einer Lücke. \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.
Beispiel 4: Integral mit Partialbruchzerlegung. Da \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} gilt,
Häufige Fehler
- Jede Nullstelle des Nenners zur Asymptote erklären. Kürze zuerst gemeinsame Faktoren; gekürzte Faktoren liefern Lücken.
- Summanden statt Faktoren kürzen. \frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}. Kürzen darf man nur gemeinsame Faktoren.
- Die Reihenfolge in der Quotientenregel vertauschen. Der Zähler ist P'Q - PQ'; vertauscht man ihn, kehrt sich das Vorzeichen um.
- Partialbruchzerlegung auf einen unecht gebrochenen Bruch anwenden. Führe zuerst eine Polynomdivision durch, wenn \deg P \ge \deg Q.
Zusammenhänge
Gebrochenrationale Funktionen sind die klassische Quelle für Grenzwerte der Form \frac{0}{0}, der Testfall für die Regel von L'Hospital und das wichtigste Anwendungsgebiet der Partialbruchzerlegung in Analysis 2. Bei ihrer Kurvendiskussion kommt jedes Werkzeug der Kurvendiskussion zum Einsatz.
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