Regel von L'Hospital: Wann und wie du sie anwendest, mit Beispielen

Manche Grenzwerte lassen sich mit Algebra nicht knacken. \frac{e^x - 1}{x} kannst du nicht faktorisieren, und keine Erweiterung bändigt \frac{x^2}{e^x}. Die Regel von L'Hospital erledigt solche Fälle in wenigen Zeilen, indem sie den ursprünglichen Bruch gegen einen Bruch aus Ableitungen tauscht. Sie ist mächtig, hat aber strenge Voraussetzungen, und wer sie im falschen Moment anwendet, bekommt selbstbewusst falsche Ergebnisse.

Was die Regel von L'Hospital besagt

Seien f und g in der Nähe von a differenzierbar (außer eventuell in a selbst), mit g'(x) \neq 0 nahe a. Wenn der Grenzwert

dann gilt

sofern der Grenzwert rechts existiert (oder \pm\infty ist). Dieselbe Regel gilt für einseitige Grenzwerte und für x \to \pm\infty.

Anschaulich: Wenn Zähler und Nenner beide gegen 0 gehen oder beide über alle Grenzen wachsen, entscheidet darüber, wie schnell sich jeder von ihnen ändert. Genau das messen die Ableitungen.

Tipp: Leite Zähler und Nenner getrennt ab. Du leitest nicht den Bruch ab, die Quotientenregel hat hier also nichts zu suchen.

Warum sie gilt

In der Nähe von x = a ist eine differenzierbare Funktion fast eine Gerade: f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). Im Fall \frac{0}{0} ist f(a) = g(a) = 0, also

Die Faktoren (x - a) kürzen sich, übrig bleibt das Verhältnis der Steigungen. Der vollständige Beweis nutzt den verallgemeinerten Mittelwertsatz von Cauchy, aber dieses Bild erklärt die Idee.

Die Regel von L'Hospital Schritt für Schritt anwenden

1. Setze ein, um die Form zu bestimmen. Ist sie nicht \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}, hör auf: Die Regel ist nicht anwendbar.
2. Leite Zähler und Nenner getrennt ab.
3. Bilde den Grenzwert des neuen Bruchs. Vereinfache vorher, wenn möglich.
4. Ist der neue Grenzwert wieder \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}, wende die Regel erneut an. Andernfalls hast du dein Ergebnis.

Rechenbeispiel 1: ein Grenzwert der Form 0/0

Berechne \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.

Schritt 1. Form prüfen. \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}. Die Regel ist anwendbar.

Schritt 2. Zähler und Nenner ableiten. \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x und \frac{d}{dx}(x) = 1.

Schritt 3. Neuen Grenzwert bilden.

Rechenbeispiel 2: die Regel zweimal anwenden

Berechne \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.

Schritt 1. Form prüfen. \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}.

Schritt 2. Erste Anwendung.

Schritt 3. Form erneut prüfen. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}. Immer noch unbestimmt, also wende die Regel noch einmal an.

Schritt 4. Zweite Anwendung.

Rechenbeispiel 3: ein Grenzwert der Form ∞/∞

Berechne \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.

Schritt 1. Form prüfen. Sowohl x^2 als auch e^x wachsen unbeschränkt: \frac{\infty}{\infty}.

Schritt 2. Erste Anwendung. \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}, immer noch \frac{\infty}{\infty}.

Schritt 3. Zweite Anwendung. \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}. Jetzt ist der Zähler konstant und der Nenner wächst unbeschränkt.

Dasselbe Argument, n-mal wiederholt, zeigt \frac{x^n}{e^x} \to 0 für jede Potenz n. Exponentialfunktionen schlagen Polynome, deshalb steigt der Graph unten zuerst an, wird aber schließlich gegen 0 gedrückt.

Andere unbestimmte Ausdrücke

Die Regel von L'Hospital funktioniert nur bei Brüchen. Die anderen unbestimmten Ausdrücke musst du zuerst in die Form \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty} bringen.

Rechenbeispiel 4: die Form 0 · ∞

Berechne \lim_{x \to 0^+} x \ln x.

Schritt 1. Form bestimmen. x \to 0 und \ln x \to -\infty: Das ist 0 \cdot \infty.

Schritt 2. Als Bruch schreiben. Teile durch den Kehrwert von x:

Das hat die Form \frac{-\infty}{\infty}.

Schritt 3. Regel anwenden.

Also gilt x \ln x \to 0. Das x schrumpft schneller, als \ln x explodiert.

Rechenbeispiel 5: die Form ∞ − ∞

Berechne \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right).

Schritt 1. Auf einen Bruch bringen.

Bei x = 0 ist das \frac{0}{0}.

Schritt 2. Erste Anwendung. Die Ableitung des Nenners x e^x - x ist e^x + x e^x - 1:

immer noch \frac{0}{0}.

Schritt 3. Zweite Anwendung.

Rechenbeispiel 6: die Form 1^∞

Berechne \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.

Schritt 1. Form bestimmen. Die Basis geht gegen 1 und der Exponent gegen \infty. Das ist 1^\infty, und das ist nicht automatisch 1.

Schritt 2. Natürlichen Logarithmus bilden. Sei y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x. Dann ist

und das hat die Form \frac{0}{0}.

Schritt 3. Regel anwenden. Die Ableitung des Zählers ist \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) und die Ableitung des Nenners ist -\frac{1}{x^2}. Beide enthalten den Faktor -\frac{1}{x^2}, also

Schritt 4. Logarithmus rückgängig machen. Da \ln y \to 1, folgt y \to e^1:

Das ist eine der klassischen Definitionen von e. Dieselbe Methode liefert \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k und \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1.

Wann du die Regel von L'Hospital nicht anwenden solltest

Wenn der Grenzwert nicht unbestimmt ist

Betrachte \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}. Direktes Einsetzen ergibt \frac{1}{2}, und das ist das Ergebnis. Wendest du die Regel trotzdem fälschlich an, erhältst du \frac{1}{1} = 1, und das ist falsch. Prüfe immer zuerst die Form.

Wenn sich die Ableitungen im Kreis drehen

Bei \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} liefert eine Anwendung \frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, also den ursprünglichen Bruch auf den Kopf gestellt. Eine zweite Anwendung dreht ihn wieder zurück. Der Ausweg ist Algebra: Teile Zähler und Nenner durch x und du erhältst \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1.

Wenn der neue Grenzwert nicht existiert

Bei \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} liefert die Regel \lim (1 + \cos x), das oszilliert und nicht existiert. Das bedeutet nicht, dass der ursprüngliche Grenzwert nicht existiert. Teilen durch x ergibt 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1. Die Regel verspricht nur dann ein Ergebnis, wenn der neue Grenzwert existiert.

Wenn Algebra einfacher ist

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} geht schneller durch Faktorisieren, und Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen gehen schneller mit den Gradregeln. Die Regel von L'Hospital ist ein Werkzeug, kein Reflex.

Typische Fehler bei der Regel von L'Hospital

1. Die Quotientenregel verwenden. Leite Zähler und Nenner getrennt ab.
2. Die Formprüfung überspringen. Die Regel auf einen bestimmten Grenzwert anzuwenden liefert ein falsches Ergebnis.
3. Sie direkt auf Produkte, Differenzen oder Potenzen anwenden. Schreibe 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0 und \infty^0 zuerst als Brüche.
4. Das Potenzieren vergessen. Bei der Logarithmusmethode ist der Grenzwert von \ln y nicht das Endergebnis. Nimm e hoch diesen Wert.
5. Annehmen, dass 1^\infty = 1 ist. Es kann jede positive Zahl sein, wie e^k zeigt.

Kurzübersicht

Üben, bis die Formprüfung automatisch sitzt

Das Schwierige an der Regel von L'Hospital sind nicht die Ableitungen. Es ist, die Form zu erkennen, richtig umzuformen und zu wissen, wann Schluss ist. Die interaktive Lektion unten gibt dir eine Mischung unbestimmter Ausdrücke, prüft jeden Schritt sofort und zeigt dir genau, wo eine Formprüfung oder ein Logarithmus gefehlt hat.