Ganzrationale Funktionen: Grad, Graph, Ableitung und Integral
Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) erklärt: Grad, Leitterm, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen, Extrempunkte, Ableitung und Integral.
Algebraische Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich
- (-\infty, \infty)
- Ableitung
- na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1
- Integral
- \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C
- Stetigkeit
- Überall stetig und differenzierbar
- Reelle Nullstellen
- Höchstens n
- Extrempunkte
- Höchstens n - 1
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Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) ist eine endliche Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Geraden, Parabeln und kubische Funktionen sind alles Polynome. Sie sind die angenehmsten Funktionen der Analysis: überall stetig, überall glatt, und sie werden Term für Term abgeleitet oder integriert.
Definition und Formel
- Der Grad ist n, die höchste Potenz mit einem Koeffizienten ungleich null.
- Der Leitterm ist a_nx^n und der Leitkoeffizient ist a_n.
- Das absolute Glied a_0 ist der y-Achsenabschnitt.
Die Exponenten müssen natürliche Zahlen 0, 1, 2, \ldots sein. Also ist x^3 - 2x ein Polynom, \sqrt{x}, \frac{1}{x} und 2^x dagegen nicht.
| Grad | Name | Beispiel |
|---|---|---|
| 0 | konstant | 5 |
| 1 | linear | 2x - 1 |
| 2 | quadratisch | x^2 + 3x |
| 3 | kubisch | x^3 - 3x |
| 4 | Grad 4 (biquadratisch) | x^4 - x^2 |
Graph eines Polynoms
Wichtige Eigenschaften
- Überall stetig und differenzierbar. Keine Lücken, Sprünge, Knicke oder Asymptoten, daher bestimmt man jeden Grenzwert durch direktes Einsetzen.
- Das Verhalten im Unendlichen ergibt sich allein aus dem Leitterm. Gerader Grad mit a_n > 0: beide Enden nach oben. Ungerader Grad mit a_n > 0: links nach unten, rechts nach oben. Ein negatives a_n kehrt das Bild um.
- Nullstellen. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. Ein Polynom ungeraden Grades hat nach dem Zwischenwertsatz immer mindestens eine.
- Extrempunkte. Höchstens n - 1, denn f' hat den Grad n - 1.
Ableitung eines Polynoms
Kombiniere die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel:
Das absolute Glied fällt weg, und der Grad sinkt um eins. Nach n + 1 Ableitungen erhält man 0.
Integral eines Polynoms
Der Grad steigt um eins. Bestimmte Integrale von Polynomen lassen sich mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung immer leicht berechnen.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Ableitung. \frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7.
Beispiel 2: Extrempunkte. Für f(x) = x^3 - 3x ist f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), und das ist null bei x = \pm 1. Dann ist f(-1) = 2 ein lokales Maximum und f(1) = -2 ein lokales Minimum.
Beispiel 3: Integral. \int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C.
Beispiel 4: bestimmtes Integral. \int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2.
Häufige Fehler
- Ein Produkt ableiten, ohne auszumultiplizieren oder die Produktregel zu verwenden. \frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right] ist nicht 2x \cdot 1. Multipliziere zuerst aus oder verwende die Produktregel.
- Das absolute Glied in der Ableitung stehen lassen. \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x, nicht 2x + 5.
- +\,C vergessen bei unbestimmten Integralen.
- Das Verhalten im Unendlichen am zuerst geschriebenen Term ablesen. Entscheidend ist der Term mit dem höchsten Grad, egal wo er steht.
Zusammenhänge
Teilt man zwei Polynome durcheinander, erhält man die gebrochenrationalen Funktionen. Taylorpolynome nähern andere Funktionen durch Polynome an, und Taylorreihen führen diese Idee mit unendlich vielen Termen fort. Die Regeln hinter jedem Schritt findest du bei den Potenzfunktionen.
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