Sekans, Kosekans und Kotangens: Graphen, Ableitungen, Integrale
Die Kehrwerte der Winkelfunktionen sec x, csc x und cot x: Definitionen, Graphen, Asymptoten, alle drei Ableitungen und Integrale mit Rechenbeispielen.
Trigonometrische Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich von sec x
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Wertebereich von sec x
- (-\infty, -1] \cup [1, \infty)
- Ableitung
- \sec x \tan x
- Integral
- \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
- Perioden
- \sec und \csc: 2\pi; \cot: \pi
Auf dieser Seite
Die Kehrwerte der Winkelfunktionen sind Sekans, Kosekans und Kotangens. Jede ist eins durch eine grundlegende Winkelfunktion: \sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x} und \cot x = \frac{1}{\tan x}. Sie tauchen ständig in Formeln für Ableitungen und Integrale auf. Auch wenn du sie selten zeichnest, brauchst du also ihre Analysis-Fakten.
Definitionen
Eine Merkhilfe für die Zuordnung: Zwischen jeder Funktion links und ihrem Partner steht genau ein „Ko“. Sekans gehört zu Kosinus, Kosekans gehört zu Sinus.
| Funktion | Kehrwert von | Nicht definiert bei | Periode | Wertebereich |
|---|---|---|---|---|
| \sec x | \cos x | x = \frac{\pi}{2} + k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \csc x | \sin x | x = k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \cot x | \tan x | x = k\pi | \pi | alle reellen Zahlen |
Graphen von Sekans und Kosekans
Der Sekans liegt nie zwischen -1 und 1: Teilt man 1 durch eine Zahl aus [-1, 1], erhält man immer einen Wert, dessen Betrag mindestens 1 ist. Der Graph des Kosekans hat dieselbe Form, um \frac{\pi}{2} nach rechts verschoben, mit Asymptoten bei den Vielfachen von \pi.
Ableitungen von sec, csc und cot
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \sec x | \sec x\tan x |
| \csc x | -\csc x\cot x |
| \cot x | -\csc^2 x |
Warum (\sec x)' = \sec x\tan x gilt. Schreibe \sec x = (\cos x)^{-1} und wende die Kettenregel an:
Dieselben Schritte mit \sin x liefern (\csc x)' = -\csc x\cot x, und die Quotientenregel für \frac{\cos x}{\sin x} liefert (\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Integrale von sec, csc und cot
| Funktion | Integral |
|---|---|
| \sec x | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C |
| \csc x | -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C |
| \cot x | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| \sec^2 x | \tan x + C |
| \csc^2 x | -\cot x + C |
| \sec x\tan x | \sec x + C |
| \csc x\cot x | -\csc x + C |
Das Integral des Sekans. Erweitere Zähler und Nenner mit \sec x + \tan x:
Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners. Mit u = \sec x + \tan x ergibt sich also \int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C.
Das Integral des Kotangens. Mit u = \sin x gilt \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C.
Rechenbeispiele
Beispiel 1. Leite f(x) = \sec(2x) ab. Nach der Kettenregel ist f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x).
Beispiel 2. Leite g(x) = x\cot x ab. Nach der Produktregel ist g'(x) = \cot x - x\csc^2 x.
Beispiel 3. Berechne \int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx. Die Stammfunktion ist \sec x, das Ergebnis also \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1.
Beispiel 4. Berechne \int \csc^2(5x)\,dx. Mit u = 5x ergibt sich -\frac{1}{5}\cot(5x) + C.
Häufige Fehler
- Kehrwerte und Umkehrfunktionen verwechseln. \sec x = \frac{1}{\cos x}, aber \cos^{-1}x bedeutet Arkuskosinus.
- Sekans mit Sinus paaren. Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus, der Kosekans der Kehrwert des Sinus.
- Minuszeichen verlieren. Die Ableitungen von \csc x und \cot x sind beide negativ.
- \int\sec x\,dx = \sec x\tan x raten. Das ist die Ableitung, nicht das Integral.
Wo du sie brauchst
Die Identitäten 1 + \tan^2 x = \sec^2 x und 1 + \cot^2 x = \csc^2 x sind der Motor der trigonometrischen Substitution, bei der aus \sqrt{1 + x^2} dann \sec\theta wird. Der Sekans taucht auch als Ableitung des Tangens auf: (\tan x)' = \sec^2 x. Eine Übersicht über alle sechs trigonometrischen Ableitungen findest du unter Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
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