Satz vom Maximum und Minimum: Aussage, Gegenbeispiele, Beispiele

Der Satz vom Maximum und Minimum (auch Extremwertsatz oder Satz von Weierstraß) garantiert, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall einen höchsten und einen tiefsten Punkt hat. Deshalb haben Extremwertaufgaben auf einem abgeschlossenen Intervall immer eine Lösung, und der Satz sagt dir genau, wo du nach ihr suchen musst.

Aussage des Satzes vom Maximum und Minimum

Ist f stetig auf dem abgeschlossenen, beschränkten Intervall [a, b], dann gibt es Zahlen c und d in [a, b], sodass

Also ist f(c) das globale Minimum von f auf [a, b] und f(d) das globale Maximum. Die Punkte c und d können Randpunkte oder innere Punkte sein, und es kann von beiden jeweils mehrere geben.

Was der Satz bedeutet

Ein stetiger Graph über einem abgeschlossenen Intervall ist ein ununterbrochenes Kurvenstück, dessen beide Enden dazugehören. Ein solches Stück kann nicht ins Unendliche davonlaufen und sich auch keiner Höhe nur annähern, ohne sie zu erreichen. Also hat es einen höchsten und einen tiefsten Punkt.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Das Intervall muss abgeschlossen sein. f(x) = x auf dem offenen Intervall (0, 1) ist stetig, hat aber kein Maximum: Zu jedem Wert, den du wählst, liefert ein etwas größeres x einen größeren Funktionswert. Das vermeintliche Maximum 1 läge am ausgeschlossenen Randpunkt.

Das Intervall muss beschränkt sein. f(x) = x auf [0, \infty) hat ein Minimum bei 0, aber kein Maximum, weil die Funktion unbegrenzt wächst.

Die Funktion muss stetig sein. Setze f(x) = x für 0 \le x < 1 und f(1) = 0. Auf [0, 1] kommen die Werte immer näher an 1 heran, erreichen es aber nie, also gibt es kein Maximum. Schuld ist der Sprung bei x = 1. Auch eine senkrechte Asymptote, wie bei \frac{1}{x} auf [-1, 1] mit f(0) als 0 definiert, zerstört Maximum und Minimum.

Diese Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Manche unstetigen Funktionen haben trotzdem Extremwerte. Der Satz garantiert sie nur, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind.

Die Methode für abgeschlossene Intervalle

Der Satz vom Maximum und Minimum sagt, dass die Extremwerte existieren. Der Satz von Fermat sagt, dass ein Extremum im Inneren an einem kritischen Punkt liegen muss. Zusammen ergeben sie ein vollständiges Rezept:

1. Prüfe, ob f auf [a, b] stetig ist.
2. Bestimme die kritischen Punkte von f in (a, b): dort, wo f'(x) = 0 ist oder f'(x) nicht existiert.
3. Berechne f an jedem kritischen Punkt sowie bei a und b.
4. Der größte Wert ist das globale Maximum, der kleinste das globale Minimum.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: f(x) = x^3 - 3x auf [0, 2.5].

Schritt 1. f ist ein Polynom, also stetig, und der Satz ist anwendbar.

Schritt 2. f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1), das ist null bei x = \pm 1. Nur x = 1 liegt in (0, 2.5).

Schritt 3. Einsetzen: f(0) = 0, f(1) = 1 - 3 = -2 und f(2.5) = 15.625 - 7.5 = 8.125.

Schritt 4. Das globale Minimum ist -2 bei x = 1, das globale Maximum ist 8.125 bei x = 2.5. Beachte, dass das Maximum an einem Randpunkt liegt, wo f' nicht null ist. Deshalb musst du die Randpunkte immer prüfen.

Beispiel 2: f(x) = x - 2\sin x auf [0, \pi].

f'(x) = 1 - 2\cos x = 0 liefert \cos x = \frac{1}{2}, also x = \frac{\pi}{3} in (0, \pi). Dann gilt

Das globale Minimum ist \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} bei x = \frac{\pi}{3}, das globale Maximum ist \pi bei x = \pi.

Beispiel 3: wenn der Satz nicht anwendbar ist. Hat f(x) = \frac{1}{x} ein Maximum auf (0, 2]? Das Intervall ist nicht abgeschlossen, also verspricht der Satz nichts. Tatsächlich gilt f(x) \to \infty für x \to 0^+, es gibt also kein Maximum. Es gibt aber ein Minimum, f(2) = \frac{1}{2}, was zeigt, dass die Aussage des Satzes trotzdem teilweise zutreffen kann.

Häufige Fehler

1. Die Randpunkte vergessen. Mit f'(x) = 0 findest du nur Kandidaten im Inneren. Die Lösung liegt oft bei a oder b.
2. Kritische Punkte außerhalb des Intervalls verwenden. In Beispiel 1 ist x = -1 ein kritischer Punkt, liegt aber nicht in [0, 2.5] und wird deshalb ignoriert.
3. Den Satz auf offene oder unbeschränkte Intervalle anwenden. Dort betrachtest du stattdessen die Grenzwerte an den Rändern, wie bei Extremwertaufgaben.

Verwandte Sätze

Mit dem Satz vom Maximum und Minimum beweist man den Satz von Rolle und damit den Mittelwertsatz. Die Stetigkeitsvoraussetzung hat er mit dem Zwischenwertsatz gemeinsam. Zum Skizzieren von Graphen und Einordnen von Extrema siehe Kurvendiskussion mit Ableitungen.