Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Aussage und Beispiele

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (kurz Mittelwertsatz) besagt, dass bei einer glatten Funktion die mittlere Änderungsrate über ein Intervall an einer Stelle im Inneren als momentane Änderungsrate erreicht wird. Geometrisch heißt das: Eine Tangente ist parallel zur Sekante, die die Randpunkte verbindet.

Aussage des Mittelwertsatzes

Die Funktion f erfülle beide Voraussetzungen:

1. f ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b];
2. f ist differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b).

Dann gibt es mindestens eine Zahl c in (a, b) mit

Gleichwertig gilt f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Diese zweite Form verwendet man in Beweisen: Sie übersetzt Informationen über die Ableitung in Informationen über die Funktion.

Was der Mittelwertsatz bedeutet

Der Bruch \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ist die Steigung der Sekante, also die mittlere Änderungsrate. f'(c) ist die Steigung der Tangente, eine momentane Änderungsrate. Der Mittelwertsatz sagt, dass beide irgendwo übereinstimmen. War deine Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Fahrt 60 km/h, dann bist du in irgendeinem Moment genau 60 km/h gefahren.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Differenzierbarkeit. Nimm f(x) = |x| auf [-1, 2]. Die Funktion ist stetig, und die Sekantensteigung ist \frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}. Aber f'(x) ist -1 für x < 0 und 1 für x > 0, nie \frac{1}{3}. Schuld ist der Knick bei 0.

Stetigkeit. Nimm f(x) = \frac{1}{x} auf [-1, 1]. Die Sekantensteigung ist \frac{1 - (-1)}{2} = 1, doch f'(x) = -\frac{1}{x^2} ist immer negativ. Die Funktion ist bei 0 nicht stetig, also ist der Mittelwertsatz nicht anwendbar.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Bestimme c für f(x) = x^3 auf [0, 2].

Schritt 1. f ist ein Polynom, also sind beide Voraussetzungen erfüllt.

Schritt 2. Mittlere Steigung: \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4.

Schritt 3. Löse f'(c) = 3c^2 = 4, das ergibt c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}. Nur c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 liegt in (0, 2).

Beispiel 2: Bestimme c für f(x) = \sqrt{x} auf [1, 4].

f ist stetig auf [1, 4] und differenzierbar auf (1, 4). Die mittlere Steigung ist \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}. Löse

und \frac{9}{4} = 2.25 liegt in (1, 4).

Beispiel 3: eine Funktion abschätzen. Angenommen, f(0) = 1 und f'(x) \le 3 für alle x. Wie groß kann f(2) höchstens sein?

Nach dem Mittelwertsatz auf [0, 2] gilt f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2 für ein c. Wegen f'(c) \le 3 folgt

Du erfährst etwas über f(2), ohne die Funktion zu kennen. So wird der Mittelwertsatz in Beweisen und bei Fehlerabschätzungen der linearen Approximation eingesetzt.

Wichtige Folgerungen

• Ableitung null heißt konstant. Ist f'(x) = 0 auf einem Intervall, dann gilt für je zwei Punkte f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0, also ist f konstant.
• Gleiche Ableitung heißt Unterschied um eine Konstante. Ist f' = g', dann ist f - g konstant. Deshalb hat jede Stammfunktion ein + C.
• Das Vorzeichen von f' bestimmt die Monotonie. Ist f' > 0 auf einem Intervall, ist f dort streng monoton wachsend. Darauf beruht das Monotoniekriterium mit der ersten Ableitung.

Häufige Fehler

1. Ein c außerhalb von (a, b) angeben. Löse f'(c) = \text{slope} und verwirf dann die Lösungen, die nicht im offenen Intervall liegen.
2. Die Voraussetzungen nicht prüfen. Bei Funktionen mit Wurzeln, Beträgen oder Brüchen prüfst du zuerst Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
3. Glauben, der Mittelwertsatz bestimme c. Er garantiert nur, dass es existiert. In vielen Anwendungen, wie in Beispiel 3, bestimmst du c überhaupt nicht.

Verwandte Sätze

Der Mittelwertsatz wird aus dem Satz von Rolle bewiesen, indem man die Sekante von f abzieht. Sein Gegenstück für Integrale ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung, und der Satz von Taylor ist eine Version höherer Ordnung. Weitere Anwendungen und Übungen findest du im ausführlichen Leitfaden zum Mittelwertsatz.