Teorema do Valor Extremo (Weierstrass): enunciado e exemplos

O Teorema do Valor Extremo (TVE), também conhecido no Brasil como teorema de Weierstrass, garante que uma função contínua em um intervalo fechado tem um ponto mais alto e um ponto mais baixo. É por isso que problemas de otimização em um intervalo fechado sempre têm resposta, e ele diz exatamente onde procurá-la.

Enunciado do Teorema do Valor Extremo

Se f é contínua no intervalo fechado e limitado [a, b], então existem números c e d em [a, b] tais que

Assim, f(c) é o mínimo absoluto de f em [a, b] e f(d) é o máximo absoluto. Os pontos c e d podem ser extremidades ou pontos interiores, e pode haver mais de um de cada.

O que o TVE significa

Um gráfico contínuo sobre um intervalo fechado é um pedaço de curva sem interrupções, com as duas pontas incluídas. Esse pedaço não pode fugir para o infinito, nem pode se aproximar de uma altura sem alcançá-la, então ele tem um topo e um fundo.

Por que cada hipótese importa

O intervalo precisa ser fechado. f(x) = x no intervalo aberto (0, 1) é contínua, mas não tem máximo: para qualquer valor que você escolha, um x um pouco maior dá uma saída maior. O candidato a máximo, 1, fica na extremidade excluída.

O intervalo precisa ser limitado. f(x) = x em [0, \infty) tem mínimo em 0, mas não tem máximo, porque cresce para sempre.

A função precisa ser contínua. Defina f(x) = x para 0 \le x < 1 e f(1) = 0. Em [0, 1] os valores chegam cada vez mais perto de 1, mas nunca o atingem, então não há máximo. A culpa é do salto em x = 1. Uma assíntota vertical, como em \frac{1}{x} em [-1, 1] com f(0) definido como 0, também destrói o máximo e o mínimo.

Essas condições são suficientes, mas não necessárias. Algumas funções descontínuas ainda têm valores extremos. O TVE apenas os garante quando as hipóteses são satisfeitas.

O método do intervalo fechado

O TVE diz que os extremos existem. O teorema de Fermat diz que um extremo interior precisa estar em um ponto crítico. Juntos, eles dão uma receita completa:

1. Verifique que f é contínua em [a, b].
2. Encontre os pontos críticos de f em (a, b): onde f'(x) = 0 ou f'(x) não existe.
3. Calcule f em cada ponto crítico e em a e b.
4. O maior valor é o máximo absoluto, e o menor é o mínimo absoluto.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: f(x) = x^3 - 3x em [0, 2.5].

Passo 1. f é um polinômio, então é contínua e o TVE se aplica.

Passo 2. f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1), que se anula em x = \pm 1. Apenas x = 1 está em (0, 2.5).

Passo 3. Calcule: f(0) = 0, f(1) = 1 - 3 = -2 e f(2.5) = 15.625 - 7.5 = 8.125.

Passo 4. O mínimo absoluto é -2 em x = 1 e o máximo absoluto é 8.125 em x = 2.5. Repare que o máximo está em uma extremidade, onde f' não é zero. É por isso que você sempre precisa verificar as extremidades.

Exemplo 2: f(x) = x - 2\sin x em [0, \pi].

f'(x) = 1 - 2\cos x = 0 dá \cos x = \frac{1}{2}, então x = \frac{\pi}{3} em (0, \pi). Logo

O mínimo absoluto é \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} em x = \frac{\pi}{3} e o máximo absoluto é \pi em x = \pi.

Exemplo 3: quando o TVE não se aplica. A função f(x) = \frac{1}{x} tem máximo em (0, 2]? O intervalo não é fechado, então o TVE não promete nada. De fato, f(x) \to \infty quando x \to 0^+, então não há máximo. Existe um mínimo, f(2) = \frac{1}{2}, o que mostra que a conclusão do TVE ainda pode valer em parte.

Erros comuns

1. Esquecer as extremidades. Resolver f'(x) = 0 só encontra candidatos interiores. A resposta muitas vezes está em a ou b.
2. Usar pontos críticos fora do intervalo. No Exemplo 1, x = -1 é um ponto crítico, mas não está em [0, 2.5], então é descartado.
3. Aplicar o TVE em intervalos abertos ou infinitos. Nesses casos, analise os limites nas bordas, como em problemas de otimização.

Teoremas relacionados

O TVE é usado para provar o teorema de Rolle e, portanto, o Teorema do Valor Médio. Ele compartilha a hipótese de continuidade com o Teorema do Valor Intermediário. Para esboçar gráficos e classificar extremos, veja esboço de gráficos com derivadas.