Aufgaben zu Doppelintegralen mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zu Doppelintegralen beginnen mit Rechtecken und gehen dann zu allgemeinen Bereichen, zum Vertauschen der Integrationsreihenfolge, zu Polarkoordinaten, Volumen und Mittelwert über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Der Ansatz für einen Bereich zwischen zwei Kurven:

Berechne zuerst das innere Integral und behandle x dabei als Konstante. Mehr zu Bereichen und Reihenfolge findest du im Leitfaden zu Doppelintegralen.

Aufgaben

Rechtecke

1. \displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx
2. \displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA, R = [0, 2]\times[0, 1]
3. \displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx

Allgemeine Bereiche

4. \displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx
5. \displaystyle\iint_R x\,dA, wobei R zwischen y = x^2 und y = x liegt
6. Bestimme die Fläche zwischen y = x^2 und y = 4 mit einem Doppelintegral.

Reihenfolge vertauschen

7. \displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy
8. \displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx

Polarkoordinaten

9. \displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA, D die Einheitskreisscheibe
10. \displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA, D die Kreisscheibe x^2 + y^2 \le 4
11. Bestimme das Volumen unter z = 4 - x^2 - y^2 und über der xy-Ebene.

Mittelwert

12. Bestimme den Mittelwert von f(x, y) = xy auf dem Quadrat [0, 2]\times[0, 2].

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Innen: \int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}. Außen:

2. Auf einem Rechteck zerfällt ein Produkt g(x)h(y) in zwei einfache Integrale:

3. Wieder aufteilen: \int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.

4. Innen: \int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}. Außen: \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}.

5. Die Kurven schneiden sich bei x = 0 und x = 1, oben liegt y = x:

6. Mit f = 1 ist das Doppelintegral der Flächeninhalt:

7. e^{x^2} hat keine elementare Stammfunktion, also vertauschst du. Der Bereich ist 0 \le y \le x \le 1, ein Dreieck. In der anderen Reihenfolge läuft x von 0 bis 1 und y von 0 bis x:

8. Der Bereich ist 0 \le x \le y \le 1. Vertausche so, dass y außen steht:

9. In Polarkoordinaten gilt x^2 + y^2 = r^2 und dA = r\,dr\,d\theta:

10. Mit u = r^2:

11. Die Fläche schneidet die Ebene bei r = 2. In Polarkoordinaten:

12. \iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4. Das Quadrat hat den Flächeninhalt 4, der Mittelwert ist also \frac{4}{4} = 1.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Äußere Grenzen mit Variablen. Nach beiden Integrationen muss eine Zahl herauskommen. Bleibt ein x übrig, stehen die Grenzen in der falschen Reihenfolge.
• Reihenfolge vertauschen, ohne neu zu zeichnen. In Aufgabe 7 ist es falsch, nur die Integralzeichen zu tauschen und die Grenzen zu behalten. Skizziere den Bereich und lies die neuen Grenzen daraus ab.
• Das r in Polarkoordinaten vergessen. Aufgabe 9 ohne das zusätzliche r liefert \frac{2\pi}{3} statt \frac{\pi}{2}.
• Die äußere Variable als veränderlich behandeln. Im inneren Integral von Aufgabe 4 ist x eine Konstante, also gilt \int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}.

Weiter üben

Für beliebig viele Aufgaben mit sofortiger Rückmeldung probiere die Lektion zu iterierten Integralen, die Lektion zum Vertauschen der Reihenfolge, die Lektion zu allgemeinen Bereichen und die Lektion zu Doppelintegralen in Polarkoordinaten.