Aufgaben zu bestimmten Integralen mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zu bestimmten Integralen beginnen mit direktem Ausrechnen und gehen dann zu Symmetrie, Beträgen, Geometrie und den Integraleigenschaften über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Das Werkzeug für fast jede Aufgabe ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 2:

Aufgaben

Direkt ausrechnen

1. \displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx
2. \displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx
4. \displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx
5. \displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx
6. \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx

Abkürzungen und Aufteilen

7. \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx
8. \displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx
9. Gegeben sind \int_0^5 f(x)\,dx = 8 und \int_0^2 f(x)\,dx = 3. Bestimme \int_2^5 f(x)\,dx, \int_5^2 2f(x)\,dx und \int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx.
10. \displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx (mit Geometrie)

Bedeutung

11. Bestimme den Mittelwert von f(x) = x^2 auf [0, 3].
12. Bestimme \int_0^{2\pi}\sin x\,dx und die gesamte Fläche zwischen y = \sin x und der x-Achse auf [0, 2\pi].

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Eine Stammfunktion ist \frac{x^3}{3} + x:

2. Schreibe \sqrt{x} = x^{1/2}, mit der Stammfunktion \frac{2}{3}x^{3/2}:

3. Eine Stammfunktion von \cos x ist \sin x:

4. Eine Stammfunktion von \frac{1}{x} ist \ln x für x > 0:

5. Eine Stammfunktion ist x^3 - x^2. Lass die Klammern um den Wert an der unteren Grenze stehen:

6. e^x ist seine eigene Stammfunktion:

7. x^3 ist eine ungerade Funktion, und das Intervall [-2, 2] liegt symmetrisch um 0. Die Fläche links hebt die Fläche rechts auf, also ist das Integral 0. Probe: \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0.

8. |x - 1| wechselt bei x = 1 die Formel. Teile dort auf:

Beide Teile sind Dreiecke: eines mit Grundseite 1 und Höhe 1, eines mit Grundseite 2 und Höhe 2.

9. Das Intervall [0, 5] zerfällt in [0, 2] und [2, 5], also ist \int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5. Vertauschte Grenzen drehen das Vorzeichen um, also ist \int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10. Beim letzten Integral ist \int_2^5 1\,dx = 3, das Ergebnis ist also 2(5) + 3 = 13. Siehe die Eigenschaften bestimmter Integrale.

10. y = \sqrt{9 - x^2} ist die obere Hälfte eines Kreises mit Radius 3. Die Hälfte von \pi r^2 ist:

11. Der Mittelwert ist \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx:

12. Das Integral ist [-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0. Der Bogen oberhalb der Achse hebt den Bogen unterhalb auf. Für die gesamte Fläche addierst du beide Bögen als positive Zahlen. Jeder hat die Fläche \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2, die gesamte Fläche ist also 4.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Klammern um F(a) weglassen. Schreibst du in Aufgabe 5 4 - 1 - 1 statt 4 - (-2), erhältst du 2 statt 6.
• Orientierte Fläche mit gesamter Fläche verwechseln. Aufgabe 12 zeigt, wie verschieden beide sein können. Achte in der Aufgabenstellung auf das Wort „Fläche".
• |x - 1| in einem Stück integrieren. Beträge musst du dort aufteilen, wo das Innere das Vorzeichen wechselt.
• Vergessen, dass vertauschte Grenzen das Vorzeichen umdrehen. \int_5^2 ist das Negative von \int_2^5.

Weiter üben

Für beliebig viele bestimmte Integrale mit sofortiger Rückmeldung probiere die Lektion zur orientierten Fläche und die Lektion zum Hauptsatz, Teil 2. Danach geht es weiter mit den Aufgaben zum Hauptsatz und den Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven.